چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
2,609 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
ویرایش شده توسط erfanm

دترمینان ماتریس واندر موند را به روش استقرا اثبات کنید

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

دترمینان ماتریس واندرموند برابر است با: $\displaystyle V_n = \prod_{1 \mathop \le i \mathop < j \mathop \le n} \left({x_j - x_i}\right)$

با استقرا حکم را ثابت میکنیم برای $n=2 $ داریم $V_1= \begin{vmatrix} 1& x_{1} \\ 1& x_{2} \end{vmatrix}= x_{2} - x_{1} $ در این حالت حکم برقرار است. فرض برای $ n-1 $ برقرار باشد نشان می دهیم برای $ n $ نیز برقرار است.داریم:

$V_n = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-2} & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-2} & x_2^{n-1} \\ 1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-2} & x_3^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-2} & x_{n-1}^{n-1} \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-2} & x_n^{n-1} \end{vmatrix}$

هر بار سطر اول را از سطرهای دیگر کم میکنیم تا در ستون اول تمام درایه ها غیر از درایه سطر اول بقیه صفر شوند یعنی داریم:

$V_n = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-2} & x_1^{n-1} \\ 0 & x_2 - x_1 & x_2^2 - x_1^2 & \cdots & x_2^{n-2} - x_1^{n-2} & x_2^{n-1} - x_1^{n-1} \\ 0 & x_3 - x_1 & x_3^2 - x_1^2 & \cdots & x_3^{n-2} - x_1^{n-2} & x_3^{n-1} - x_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & x_{n-1} - x_1 & x_{n-1}^2 - x_1^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-2} - x_1^{n-2} & x_{n-1}^{n-1} - x_1^{n-1} \\ 0 & x_n - x_1 & x_n^2 - x_1^2 & \cdots & x_n^{n-2} - x_1^{n-2} & x_n^{n-1} - x_1^{n-1} \end{vmatrix}$

ابتدا درایه های سطر اول را نیز صفر میکنیم برای اینکار ابتدا $ x_{1} $ برابر ستون $ n-1 $ام را از ستون $ n $ کم میکنیم برای مرحله بعد $ x_{1} $ برابر ستون $n-2 $ام را از ستون $n-1 $ کم میکنیم و این روند را ادامه میدهیم تا $ x_{1} $ برابر ستون $ 1 $ام را از ستون $ 2 $ کم میکنیم. دقت کنید که در ماتریس واندر موند فرمول هر درایه بصورت $ ( x_{i} ) ^{j-1} $ است و در این حالت بعد از عملیات بالا فرمول هر درایه بصورت $a_{ij} = \left({x_i^{j-1} - x_1^{j-1}}\right) - \left({x_1 x_i^{j-2} - x_1^{j-1}}\right) = \left({x_i - x_1}\right) x_i^{j-2} $ خواهد بود.

$\left | \begin{array}{lccccr} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \ 0 & x_2 - x_1 & \begin{array}{c}\left({x_2 - x_1}\right) \ \times x_2\end{array} & \cdots & \begin{array}{c}\left({x_2 - x_1}\right)\ \times x_2^{n-3}\end{array} & \begin{array}{c}\left({x_2 - x_1}\right)\ \times x_2^{n-2}\end{array} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\ 0 & x_{n-1} - x_1 & \begin{array}{c}\left({x_{n-1} - x_1}\right) \ \times x_{n-1} \end{array}& \cdots &\begin{array}{c} \left({x_{n-1} - x_1}\right) \ \times x_{n-1}^{n-3}\end{array} &\begin{array}{c} \left({x_{n-1} - x_1}\right) \ \times x_{n-1}^{n-2}\end{array} \ 0 & x_n - x_1 &\begin{array}{c} \left({x_n - x_1}\right)\ \times x_n\end{array} & \cdots & \begin{array}{c}\left({x_n - x_1}\right)\ \times x_n^{n-3}\end{array} &\begin{array}{c} \left({x_n - x_1}\right)\ \times x_n^{n-2}\end{array} \end{array} \right |$

با انجام عملیات بالا مقدار دترمینان تغییری نکرده است. حال با کمی دقت میبینیم که هر سطر ماتریس مضرب مقداری ثابت است(سطر $i $ام مضرب $( x_{i} - x_{1} ) $ است) پس با حارج کردن آنها داریم:

$\displaystyle V_n = \prod_{k \mathop = 2}^n \left({x_k - x_1}\right) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \ 0 & 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-3} & x_2^{n-2} \ 0 & 1 & x_3 & \cdots & x_3^{n-3} & x_3^{n-2} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ 0 & 1 & x_{n-1} & \cdots & x_{n-1}^{n-3} & x_{n-1}^{n-2}\ 0 & 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-3} & x_n^{n-2} \end{vmatrix}$

که با بسط دترمینان حول سطر اول داریم:

$\displaystyle V_n = \prod_{k \mathop = 2}^n \left({x_k - x_1}\right) \begin{vmatrix} 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-3} & x_2^{n-2} \ 1 & x_3 & \cdots & x_3^{n-3} & x_3^{n-2} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ 1 & x_{n-1} & \cdots & x_{n-1}^{n-3} & x_{n-1}^{n-2}\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-3} & x_n^{n-2} \end{vmatrix}$

که با کمی دقت ماتریس حاصله ماتریس واندرموند برای $n-1$ است که طبق فرض استقرا دترمینان آن ماتریس برابر $\displaystyle V_n = \prod_{2 \mathop \le i \mathop < j \mathop \le n} \left({x_j - x_i}\right)$ و با جایگذاری حکم ثابت میشود.

اثبات ارائه شده بر گرفته از سایت $proofwiki.org$ است.

دارای دیدگاه توسط wahedmohammadi
+2
@erfanm
خیلی ممنون اثبات جالبی بود،ولی چون ماتریس بزرگ هستش تو نمایش کامل نشون نمیده،من با زدن ویرایش و استفاده از پیش‌نمایش تونستم کامل ببینمش
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
62 نفر آنلاین
0 عضو و 62 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3277
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712418
...