به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
2,755 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

دترمینان ماتریس واندر موند را به روش استقرا اثبات کنید

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

دترمینان ماتریس واندرموند برابر است با: $\displaystyle V_n = \prod_{1 \mathop \le i \mathop < j \mathop \le n} \left({x_j - x_i}\right)$

با استقرا حکم را ثابت میکنیم برای $n=2 $ داریم $V_1= \begin{vmatrix} 1& x_{1} \\ 1& x_{2} \end{vmatrix}= x_{2} - x_{1} $ در این حالت حکم برقرار است. فرض برای $ n-1 $ برقرار باشد نشان می دهیم برای $ n $ نیز برقرار است.داریم:

$V_n = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-2} & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-2} & x_2^{n-1} \\ 1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-2} & x_3^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-2} & x_{n-1}^{n-1} \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-2} & x_n^{n-1} \end{vmatrix}$

هر بار سطر اول را از سطرهای دیگر کم میکنیم تا در ستون اول تمام درایه ها غیر از درایه سطر اول بقیه صفر شوند یعنی داریم:

$V_n = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-2} & x_1^{n-1} \\ 0 & x_2 - x_1 & x_2^2 - x_1^2 & \cdots & x_2^{n-2} - x_1^{n-2} & x_2^{n-1} - x_1^{n-1} \\ 0 & x_3 - x_1 & x_3^2 - x_1^2 & \cdots & x_3^{n-2} - x_1^{n-2} & x_3^{n-1} - x_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & x_{n-1} - x_1 & x_{n-1}^2 - x_1^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-2} - x_1^{n-2} & x_{n-1}^{n-1} - x_1^{n-1} \\ 0 & x_n - x_1 & x_n^2 - x_1^2 & \cdots & x_n^{n-2} - x_1^{n-2} & x_n^{n-1} - x_1^{n-1} \end{vmatrix}$

ابتدا درایه های سطر اول را نیز صفر میکنیم برای اینکار ابتدا $ x_{1} $ برابر ستون $ n-1 $ام را از ستون $ n $ کم میکنیم برای مرحله بعد $ x_{1} $ برابر ستون $n-2 $ام را از ستون $n-1 $ کم میکنیم و این روند را ادامه میدهیم تا $ x_{1} $ برابر ستون $ 1 $ام را از ستون $ 2 $ کم میکنیم. دقت کنید که در ماتریس واندر موند فرمول هر درایه بصورت $ ( x_{i} ) ^{j-1} $ است و در این حالت بعد از عملیات بالا فرمول هر درایه بصورت $a_{ij} = \left({x_i^{j-1} - x_1^{j-1}}\right) - \left({x_1 x_i^{j-2} - x_1^{j-1}}\right) = \left({x_i - x_1}\right) x_i^{j-2} $ خواهد بود.

$\left | \begin{array}{lccccr} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \ 0 & x_2 - x_1 & \begin{array}{c}\left({x_2 - x_1}\right) \ \times x_2\end{array} & \cdots & \begin{array}{c}\left({x_2 - x_1}\right)\ \times x_2^{n-3}\end{array} & \begin{array}{c}\left({x_2 - x_1}\right)\ \times x_2^{n-2}\end{array} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\ 0 & x_{n-1} - x_1 & \begin{array}{c}\left({x_{n-1} - x_1}\right) \ \times x_{n-1} \end{array}& \cdots &\begin{array}{c} \left({x_{n-1} - x_1}\right) \ \times x_{n-1}^{n-3}\end{array} &\begin{array}{c} \left({x_{n-1} - x_1}\right) \ \times x_{n-1}^{n-2}\end{array} \ 0 & x_n - x_1 &\begin{array}{c} \left({x_n - x_1}\right)\ \times x_n\end{array} & \cdots & \begin{array}{c}\left({x_n - x_1}\right)\ \times x_n^{n-3}\end{array} &\begin{array}{c} \left({x_n - x_1}\right)\ \times x_n^{n-2}\end{array} \end{array} \right |$

با انجام عملیات بالا مقدار دترمینان تغییری نکرده است. حال با کمی دقت میبینیم که هر سطر ماتریس مضرب مقداری ثابت است(سطر $i $ام مضرب $( x_{i} - x_{1} ) $ است) پس با حارج کردن آنها داریم:

$\displaystyle V_n = \prod_{k \mathop = 2}^n \left({x_k - x_1}\right) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \ 0 & 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-3} & x_2^{n-2} \ 0 & 1 & x_3 & \cdots & x_3^{n-3} & x_3^{n-2} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ 0 & 1 & x_{n-1} & \cdots & x_{n-1}^{n-3} & x_{n-1}^{n-2}\ 0 & 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-3} & x_n^{n-2} \end{vmatrix}$

که با بسط دترمینان حول سطر اول داریم:

$\displaystyle V_n = \prod_{k \mathop = 2}^n \left({x_k - x_1}\right) \begin{vmatrix} 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-3} & x_2^{n-2} \ 1 & x_3 & \cdots & x_3^{n-3} & x_3^{n-2} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ 1 & x_{n-1} & \cdots & x_{n-1}^{n-3} & x_{n-1}^{n-2}\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-3} & x_n^{n-2} \end{vmatrix}$

که با کمی دقت ماتریس حاصله ماتریس واندرموند برای $n-1$ است که طبق فرض استقرا دترمینان آن ماتریس برابر $\displaystyle V_n = \prod_{2 \mathop \le i \mathop < j \mathop \le n} \left({x_j - x_i}\right)$ و با جایگذاری حکم ثابت میشود.

اثبات ارائه شده بر گرفته از سایت $proofwiki.org$ است.

دارای دیدگاه توسط
+2
@erfanm
خیلی ممنون اثبات جالبی بود،ولی چون ماتریس بزرگ هستش تو نمایش کامل نشون نمیده،من با زدن ویرایش و استفاده از پیش‌نمایش تونستم کامل ببینمش
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...