به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
6,583 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط haidar
ویرایش شده توسط erfanm

اگر همه مقادیر ویژه ماتریسی متقارنی، مثبت باشند آن ماتریس معین مثبت است.

دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
چنین چیزی درست نیست مثلا ماتریس $ \begin{bmatrix}1 & 2 \\0 & 1 \end{bmatrix} $دارای دو مقدار ویژه مثبت است اما مثبت معین نیست
دارای دیدگاه توسط haidar
+2
درسته حق با شماست
دارای دیدگاه توسط reza91
+2
@erfanm
البته شما در این سوال گفتید که "اما مقادیر ویژه مثبت هستند اگروتنها اگر ماتریس معین مثبت باشد"
$http://math.irancircle.com/2216/%D9%85%D9%82%D8%A7%D8%AF%DB%8C%D8%B1-%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87$
دارای دیدگاه توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm
+1
در اون سوال (بطور ضمنی بحث از ماتریس های متقارن یا هرمیتی بوده) شرط متقارن بودن رو لازم داره الان اصلاحش میکنم
دارای دیدگاه توسط wahedmohammadi
+1
@erfanm
میشه با فرض متقارن بودن اثباتش کرد؟
من الان این فرض رو بش اضافه میکنم

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط wahedmohammadi
 
بهترین پاسخ

از آنجایی که هر ماتریس متقارن دارای بردارهای ویژه ی متعامد به عنوان پایه است پس هر بردار ناصفر مانند $ x$ را می توان بصورت ترکیب خطی از این عناصر بنویسیم فرض کنید داشته باشیم: $$x= a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n} $$ پس داریم: $$ x^{T} Ax= (a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})^{T}A(a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})= $$ $$(a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})^{T}(a_{1} A v_{1} + a_{2} Av_{2} +...+ a_{n} Av_{n})=$$ $$(a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})^{T}(a_{1} \lambda _{1} v_{1} + a_{2} \lambda _{2} v_{2} +...+ a_{n} \lambda _{n} v_{n})=$$ $$ \sum \lambda _{i} a_{1}^{2} > 0$$

چون $ v_{i} $ ها متعامد هستند لذا $ v_{i} ^{T} v_{j} = \delta _{ij} $

دارای دیدگاه توسط wahedmohammadi
ویرایش شده توسط wahedmohammadi
+1
@erfanm
امکان داره با شرط متمایز و مثبت بودن مقادیر ویژه‌ها باز ماتریس معین مثبت باشه؟
دارای دیدگاه توسط erfanm
@wahedmohammadi
اگر مقادیر ویژه متمایز باشند آنگاه ماتریس قطری شدنی است و پایه ای از  بردارهای ویژه که متعامد هستند نیز وجود دارد.و همین اثبات رو میتوان بکار برد.
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط محمد

هرماتریس معین مثبتی،مقادیر ویژه ی مثبتی و هر ماتریس معین منفی مقادیر ویژه منفی و صفرداردو برعکس آن لزوما برقرارنیس.وشرط معین و مثبت بودن ماتریس وجود زیرماتریس های مثبت هست.والسلام

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
38 نفر آنلاین
0 عضو و 38 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1566
بازدید دیروز: 6343
بازدید کل: 5025800
...