چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
6,440 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط haidar
ویرایش شده توسط erfanm

اگر همه مقادیر ویژه ماتریسی متقارنی، مثبت باشند آن ماتریس معین مثبت است.

دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
چنین چیزی درست نیست مثلا ماتریس $ \begin{bmatrix}1 & 2 \\0 & 1 \end{bmatrix} $دارای دو مقدار ویژه مثبت است اما مثبت معین نیست
دارای دیدگاه توسط haidar
+2
درسته حق با شماست
دارای دیدگاه توسط reza91
+2
@erfanm
البته شما در این سوال گفتید که "اما مقادیر ویژه مثبت هستند اگروتنها اگر ماتریس معین مثبت باشد"
$http://math.irancircle.com/2216/%D9%85%D9%82%D8%A7%D8%AF%DB%8C%D8%B1-%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87$
دارای دیدگاه توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm
+1
در اون سوال (بطور ضمنی بحث از ماتریس های متقارن یا هرمیتی بوده) شرط متقارن بودن رو لازم داره الان اصلاحش میکنم
دارای دیدگاه توسط wahedmohammadi
+1
@erfanm
میشه با فرض متقارن بودن اثباتش کرد؟
من الان این فرض رو بش اضافه میکنم

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط wahedmohammadi
 
بهترین پاسخ

از آنجایی که هر ماتریس متقارن دارای بردارهای ویژه ی متعامد به عنوان پایه است پس هر بردار ناصفر مانند $ x$ را می توان بصورت ترکیب خطی از این عناصر بنویسیم فرض کنید داشته باشیم: $$x= a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n} $$ پس داریم: $$ x^{T} Ax= (a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})^{T}A(a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})= $$ $$(a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})^{T}(a_{1} A v_{1} + a_{2} Av_{2} +...+ a_{n} Av_{n})=$$ $$(a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})^{T}(a_{1} \lambda _{1} v_{1} + a_{2} \lambda _{2} v_{2} +...+ a_{n} \lambda _{n} v_{n})=$$ $$ \sum \lambda _{i} a_{1}^{2} > 0$$

چون $ v_{i} $ ها متعامد هستند لذا $ v_{i} ^{T} v_{j} = \delta _{ij} $

دارای دیدگاه توسط wahedmohammadi
ویرایش شده توسط wahedmohammadi
+1
@erfanm
امکان داره با شرط متمایز و مثبت بودن مقادیر ویژه‌ها باز ماتریس معین مثبت باشه؟
دارای دیدگاه توسط erfanm
@wahedmohammadi
اگر مقادیر ویژه متمایز باشند آنگاه ماتریس قطری شدنی است و پایه ای از  بردارهای ویژه که متعامد هستند نیز وجود دارد.و همین اثبات رو میتوان بکار برد.
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط محمد

هرماتریس معین مثبتی،مقادیر ویژه ی مثبتی و هر ماتریس معین منفی مقادیر ویژه منفی و صفرداردو برعکس آن لزوما برقرارنیس.وشرط معین و مثبت بودن ماتریس وجود زیرماتریس های مثبت هست.والسلام

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3219
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712360
...