چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
125 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fardina

تمام توابع مشتق پذیر $ f:\mathbb{R}\to \mathbb R $ را بیابید به طوریکه: $$f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n} $$ برای هر عدد حقیقی $x $ و هر عدد طبیعی $ n $

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط fardina
 
بهترین پاسخ

بوضوح توابعی به صورت $ f(x)=ax+b $ در معادله صدق می کنند نشان میدهیم هرتابعی که در رابطه بالا صدق کنه به همین صورت است.

$$n=1 \Rightarrow f' (x)=f(x+1)-f(x) \Rightarrow f(x+1)=f' (x)+f(x) \\ n=2 \Rightarrow 2f' (x)=f(x+2)-f(x) \Rightarrow f(x+2)=2f' (x)+f(x)\\ n=1,x \mapsto x+1 \Rightarrow f' (x+1)=f(x+2)-f(x+1) $$

یعنی $$ f' (x+1)=2f' (x)+f(x)-(f' (x)+f(x))=f' (x) $$

حال تعریف میکنیم $ g(x)=f(x+1)-f(x)$ بوضوح تابع $ g $ مشتق پذیر بوده و مشتقش با توجه به رابطه بدست آمده برابر صفر است لذا تابع $ g$ تابعی ثابت است. با کمی دقت تابع $ g$ همان $ f' (x) $ است یعنی مشتق تابع $ f $ عددی ثابت است.پس با انتگرال گیری داریم که $ f(x)=ax+b $ است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
63 نفر آنلاین
0 عضو و 63 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2416
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673875
...