به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
125 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fardina

تمام توابع مشتق پذیر $ f:\mathbb{R}\to \mathbb R $ را بیابید به طوریکه: $$f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n} $$ برای هر عدد حقیقی $x $ و هر عدد طبیعی $ n $

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط fardina
 
بهترین پاسخ

بوضوح توابعی به صورت $ f(x)=ax+b $ در معادله صدق می کنند نشان میدهیم هرتابعی که در رابطه بالا صدق کنه به همین صورت است.

$$n=1 \Rightarrow f' (x)=f(x+1)-f(x) \Rightarrow f(x+1)=f' (x)+f(x) \\ n=2 \Rightarrow 2f' (x)=f(x+2)-f(x) \Rightarrow f(x+2)=2f' (x)+f(x)\\ n=1,x \mapsto x+1 \Rightarrow f' (x+1)=f(x+2)-f(x+1) $$

یعنی $$ f' (x+1)=2f' (x)+f(x)-(f' (x)+f(x))=f' (x) $$

حال تعریف میکنیم $ g(x)=f(x+1)-f(x)$ بوضوح تابع $ g $ مشتق پذیر بوده و مشتقش با توجه به رابطه بدست آمده برابر صفر است لذا تابع $ g$ تابعی ثابت است. با کمی دقت تابع $ g$ همان $ f' (x) $ است یعنی مشتق تابع $ f $ عددی ثابت است.پس با انتگرال گیری داریم که $ f(x)=ax+b $ است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
47 نفر آنلاین
0 عضو و 47 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 379
بازدید دیروز: 6583
بازدید کل: 5012614
...