به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
100 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط fardina

فرض کنید $ f:\mathbb{R^2}\to \mathbb R $ تابعی باشد به طوریکه به ازای هر مربع $ABCD $ در صفحه داشته باشیم $f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0 $ . آیا از این نتیجه می شود که $f(x)=0 $ به ازای هر $x\in \mathbb{R^2} $ ؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

بله چنین تابعی تابع صفر است. برای اثبات نقطه ی دلخواه $ A $ در صفحه را در نظر می گیریم و نقاطی بصورت زیر را اختیار میکنیم که تمام چهار ضلعی ها مربع هستند.

enter image description here

برای مربع های$ ICEG $ ، $ BDFA $ داریم: $$ 1)f(C)+f(E)+f(G)+f(I)=0 $$ $$ 2)f(B)+f(D)+f(F)+f(H)=0 $$

حال کافیست برای مربع های $ HABI$ ، $ AHGF $ ، $ ADEF $ ، $ ABCD $$$ f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0 $$ $$ f(A)+f(D)+f(E)+f(F)=0 $$ $$ f(A)+f(F)+f(G)+f(H)=0 $$ $$ f(A)+f(H)+f(I)+f(B)=0 $$

با جمع طرفین و توجه به ستون ها و استفاده از روابط $1$ و$2$ بدست می آید که $4f(A)=0 $ لذا $f(A)=0 $ و چون نقطه دلخواه بود لذا $ f $ تابع صفر است

دارای دیدگاه توسط zh
راه حل جالبی بود.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
67 نفر آنلاین
2 عضو و 65 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3867
بازدید دیروز: 5659
بازدید کل: 5021759
...