چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
100 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط fardina

فرض کنید $ f:\mathbb{R^2}\to \mathbb R $ تابعی باشد به طوریکه به ازای هر مربع $ABCD $ در صفحه داشته باشیم $f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0 $ . آیا از این نتیجه می شود که $f(x)=0 $ به ازای هر $x\in \mathbb{R^2} $ ؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

بله چنین تابعی تابع صفر است. برای اثبات نقطه ی دلخواه $ A $ در صفحه را در نظر می گیریم و نقاطی بصورت زیر را اختیار میکنیم که تمام چهار ضلعی ها مربع هستند.

enter image description here

برای مربع های$ ICEG $ ، $ BDFA $ داریم: $$ 1)f(C)+f(E)+f(G)+f(I)=0 $$ $$ 2)f(B)+f(D)+f(F)+f(H)=0 $$

حال کافیست برای مربع های $ HABI$ ، $ AHGF $ ، $ ADEF $ ، $ ABCD $$$ f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0 $$ $$ f(A)+f(D)+f(E)+f(F)=0 $$ $$ f(A)+f(F)+f(G)+f(H)=0 $$ $$ f(A)+f(H)+f(I)+f(B)=0 $$

با جمع طرفین و توجه به ستون ها و استفاده از روابط $1$ و$2$ بدست می آید که $4f(A)=0 $ لذا $f(A)=0 $ و چون نقطه دلخواه بود لذا $ f $ تابع صفر است

دارای دیدگاه توسط zh
راه حل جالبی بود.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
63 نفر آنلاین
0 عضو و 63 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2442
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673901
...