به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
382 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط فرید
ویرایش شده توسط fardina

انتگرال $ \int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1} dx$ را چطوری میتوان محاسبه کرد؟

2 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

ابتدا متغییر رو تغییر میدهیم :

$$x = \tan\theta \to dx=(\tan ^ 2\theta +1)d \theta $$ $$\tan (\dfrac{\pi}{4})=1 \ \ , \ \ \tan (0)=0$$

باز سازی انتگرال :

$$I= \int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan\theta) \ d\theta \tag{ 1}$$

از نکته زیر استفاده میکنیم :

$$\int_{0}^{a} f(x) \ dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \ dx$$

خواهیم داشت :

$$I = \int_{0}^{\pi/4} \ln\biggl(1+\tan\Bigl(\frac{\pi}{4}-\theta\Bigr)\biggr) \ d\theta = \int_{0}^{\pi/4} \ln\biggl(\frac{2}{1+\tan\theta} \biggr) \ d\theta \tag{ 2}$$

انتگرال $1,2$ را جمع میکنیم :

$$2I = \int_{0}^{\pi/4} \ln(2) \ d\theta\Rightarrow I= \ln(2) \cdot \frac{\pi}{8}$$
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@saderi7
ایده قشنگ.
دارای دیدگاه توسط saderi7
@fardina
 ممنونم :)
+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

با استفاده از تغییر متغیر $ x=\tan\theta $ چون $ x $ از $ 0 $ تا $1$ تغییر می کند لذا $\theta $ از $ 0 $ تا $\pi/4 $ تغییر خواهد کرد و همچنین از $ dx=(\tan^2\theta+1)d\theta $ داریم: $$\require{cancel}\begin{align} \int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}dx&=\int_0^{\pi/4}\frac{\ln(\tan\theta+1)}{\cancel{\tan^2\theta+1}}(\cancel{\tan^2\theta+1)}d\theta \\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1)d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}(\ln(\sin\theta+\cos\theta)-\ln\cos(\theta))d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}(\ln(\sqrt{2}\cos(\pi/4-\theta))-\ln\cos(\theta))d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\sqrt2)d\theta+\underbrace{\cancel{\int_0^{\pi/4}\ln(\cos(\pi/4-\theta))d\theta}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad-\underbrace{\cancel{\int_0^{\pi/4}\ln(\cos\theta)d\theta}}\\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\sqrt2)d\theta\\ &=\pi/4\ln(\sqrt2)\\ &=\pi/8\ln2 \end{align}$$


اثبات برابری دو عبارتی که زیرشون خط کشیدم:

اگر قرار دهیم $ \alpha=\pi/4-\theta $ آنگاه : $$\begin{align} \int_0^{\pi/4}\ln(\cos(\pi/4-\theta)d\theta&=\int_{\pi/4}^0\ln(\cos\alpha)(-d\alpha)\\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\cos\alpha)d\alpha \end{align}$$

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
توجه کنید که همواره $\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\sin(\pi/4+\theta)=\sqrt2\cos(\pi/4-\theta)$
دارای دیدگاه توسط zh
+1
بنظرم راه حل پایانی درست نیست. اینکه روی دو انتگرال خط زدین. این دو با هم برابر نیستن که حذف شن. من در نهایت به انتگرال ln sinx رسیدم.
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
zh: ممنون برای دیدگاهتون. من اثبات برابری دو انتگرال رو اضافه کردم. چه خوبه شما هم راه حلتون رو بنویسید.
دارای دیدگاه توسط zh
+1
راه حل من خیلی طولانی شد. راستش انتگرال نهایی که حاصل از چند تغییر متغییر و جز به جز هستش، خیلی سخت شد و از حلش صرف نظر کردم
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
48 نفر آنلاین
0 عضو و 48 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2708
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5008360
...