چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
234 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fardina

آیا تابعی اکیدا صعودی $f:\mathbb R\to \mathbb R $ با شرط $f'(x)=f(f(x)) $ برای هر $ x $ موجود است؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط admin

فرض کنیم چنین تابعی موجود باشد به تناقض می رسیم. چون تابع صعودی اکید است پس $ f' > 0 $ است.برای نقطه ی دلخواه $ x_{0} $ فرض کنید $ f(x_{0})=b $ و $ 0 < a =f' (x_{0})=f(f(x_{0})=f(b) $. چون ترکیب دو تابع صعودی اکید، تابعی صعودی اکید است و $ f' $ این خاصیت رو داره لذا تابعی صعودی اکید است پس برای هر $ x > x_{0} $ داریم $ f' (x) > a $ و با انتگرال گیری از $ x_{0} $ تا $x $ داریم که $$ f(x) >a(x-x_{0})+b $$ حال کرانی را برای $ b $ برحسب $ x_{0}$ بدست می آوریم. اگر $ b \leq x_{0}$ کران خوبیه فرض $b > x_{0} $ لذا می توانیم بجای $ x $ در رابطه بالا $ b $ قرار دهیم و از رابطه $a=f(b) $ هم استفاده کنیم تا بدست آید که $ b \leq \frac{a(x_{0}+1)}{a+1} < x_{0}+1 $ پس در هر حالت داریم $b=f(x_{0}) < x_{0}+1 $ از آنجایی که $ x_{0} $ دلخواه بود لذا برای هر $x $ رابطه ی $ f(x) < x+1 $ برقرار است و این بدین معنیه که $$ f' (x) \leq 1 \tag{1}\label{1}$$.

حال رابطه ی اولیه را برای $x_{0}=0 $ مینویسیم لذا بافرض $ f(0)=b $ و $ 0 < a =f' (0)$ داریم $$ f(x) >ax+b $$ پس با انتخاب $x > max \big\{0, \frac{-b}{a} \big\} $ داریم $$f(x) > 0 \\ و\\ f' (x)=f(f(x)) > f(x) >ax+b $$ که با انتخاب $ x $ مناسب می توان بدست آورد که $ f' (x) > 1 $ و این با رابطه$\ref{1}$که در بالا بدست آمد در تناقض است.

اثبات رابطه ی $(1)$: فرض نقطه ای مانند $ x_{1} $ موجود باشد که $1+ \epsilon = f' ( x_{1} )>1 $ چون $ f' $ صعودی اکید است لذا برای تمام$ x > x_{1} $ داریم $ f' (x)>1+ \epsilon $ وبا انتگرال گیری از$ x_{1} $ تا $x $ داریم $$ f(x) >(1+ \epsilon)(x-x_{1})+f(x_{1}) =x+(f(x_{1})-x_{1}+\epsilon(x-x_{1}))$$ که با توجه به عبارت داخل پرانتز سمت راست(غیر $ x$ بقیه مقادیر ثابت هستند) و استفاده از خاصیت ارشمیدسی اعداد می توان $ x$ را آنقدر بزرگ انتخاب کرد که عبارت داخل پرانتز از $1$بزرگتر شود یعنی $ f(x) > x+1 $و این تناقض است لذا باید $ f' (x) \leq 1 $ باشد.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
87 نفر آنلاین
1 عضو و 86 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3696
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4698736
...