به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
83 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط بی نام
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

اگر $f(x)+f(y)=f(x+y)$و $f(1) \neq 1$ ثابت کنید به ازای هر عدد طبیعی

$\frac{f(n)}{f(1)} =n$

اگر$f(x)+f(y)=f(x+y)$و$f(1) \neq 1$ آنگاه $\frac{f(n)}{f(1)} =n$

دارای دیدگاه توسط erfanm
باید به جای $f(1) \neq 1$  داشته باشیم $f(1) \neq 0$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

برای جواب از استقرا استفاده می کنیم و نشان می دهیم $f(nx)=nf(x) $ برای $n=1 $ بدیهی است فرض کنید $n=2 $ باشد در رابطه ی داده شده در سوال به جای $ y $ هم $ x $ می نویسیم لذا داریم: $(2f(x)=)f(x)+f(x)=f(x+x)(=f(2x))$ حال فرض حکم برای $n-1 $ برقرار باشد یعنی $ f((n-1)x)=(n-1)f(x) $ نشان می دهیم حکم برای $ n $ نیز برقرار است.داریم: $$f(nx)=f( \underbrace{(n-1)x}_{y} +x) =f((n-1)x)+f(x)=(n-1)f(x) +f(x)=nf(x)$$ حال به جای $ $ قرار می دهیم $1$ یعنی $ f(n)=nf(1) $ و با توجه به فرض $f(1) \neq 0 $ با تقسیم بر $ f(1) $ حکم نتیجه می شود.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
69 نفر آنلاین
1 عضو و 68 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4507
بازدید دیروز: 4732
بازدید کل: 4867870
...