چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
80 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط arvin

حل كلي معادلات به صورت زير ..؟؟

$$[ax]+b[x]+c=0$$

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

براي حل معادلات به صورت زير

$$[ax]+b[x]+c=0$$

داريم

$$ \begin{cases}x=n+p & 0 \leq p<1 \Rightarrow [p]=0\ax=an+ap & 0 \leq ap < a \Rightarrow [ap]=0,1,...(a-1)\end{cases} $$

حال جايگذاري ميكنيم

$$[ax]+b[x]+c=0 \Rightarrow [a(n+p)]+b[n+p]+c=0$$

$$ \Rightarrow [an+ap]+b[n+b]+c=0$$

$$ \Rightarrow an+[ap]+b(n+[p])+c=0$$

$$ \Rightarrow an+[ap]+bn+b[p]+c=0,(b[p]=0)$$

$$ \Rightarrow an+bn+[ap]+c=0$$

$$n(a+b)=-(c+[ap])$$

$$n= \frac{-(c+[ap])}{a+b} ,([ap]=0,1 ....(a-1) )$$

باتوجه به اينكه $n \in Z$ميباشد بنابراين$(a+b) \mid (c+[ap])$

تا اينجاي كار ما$n$رابدست آورديم

حال باتوجه به$$x=n+p \rightarrow 0 \leq p < 1$$

به نامعادله ي زير ميرسيم $$n \leq p +n< n+1$$

$$ \ n \leq x< n+1$$

$$ \frac{-(c+[ap])}{a+b} \leq x < \frac{-(c+[ap])}{a+b} +1$$

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

برای حل این سوال ابتدا توجه کنید که اگر داشته باشیم $ [x]=k $ آنگاه$k \leq x < k+1 $ می توان حلت های زیر را نوشت:

$k + \frac{i}{a} \leq x < k+\frac{i+1}{a} $ که در آن$0 \leq i < a$ است پس $ ak+i \leq ax < ak+i+1 $ یا بصورت کلی $[ax]=a[x]+i $ که در آن $0 \leq i < a$ با جایگذاری در معادله داریم:

$$ a[x]+i +b[x]+c=0 \Rightarrow [x]= \frac{-c-i}{a+b} $$ و به ازای $ 0 \leq i < a$ که کسر $ \frac{-c-i}{a+b} $ صحیح باشد جواب برابر $\frac{-c-i}{a+b} \leq x < \frac{-c-i}{a+b} +1$ اشتراک با $k + \frac{i}{a} \leq x < k+\frac{i+1}{a} $ مورد قبول است.

مثلا برای مثال $[2X]-[X]+3$ داریم:$a=2,b=-1,c=3$ و $0 \leq i < 2$ پس دو بازه ودو کسر داریم

بازه اول $k + \frac{0}{a} \leq x < k+\frac{0+1}{a} $ و $k=[x]= \frac{-c-i}{a+b} = \frac{-3-0}{2-1} =-3 $

پس جواب برابر $-3 \leq x <-2$ اشتراکش با $(-3=)-3 + \frac{0}{2} \leq x < -3+\frac{0+1}{2} (=-2.5) $ در این حالت است.

بازه دوم $k + \frac{1}{a} \leq x < k+\frac{1+1}{a} $ و $ k=[x]= \frac{-c-i}{a+b} = \frac{-3-1}{2-1} =-4 $پس جواب برابر $-4 \leq x <-3$ اشتراکش با $-4 + \frac{1}{2} \leq x < -4+\frac{1+1}{2} $ در این حالت است.

پس جواب کلی برابر $-3.5 \leq x <-2.5 $است.

روش دوم: برای حل از رابطه ی $[2x]=[x]+[x+ \frac{1}{2} ]$ استفاده می کنیم پس داریم: $[2X]-[X]+3=[x]+[x+ \frac{1}{2} ]-[X]+3=[x+ \frac{1}{2} ]+3=0$ پس $[x+ \frac{1}{2} ]=-3 $ یعنی $-3 \leq x+ \frac{1}{2} <-2$پس $-3.5 \leq x <-2.5$

دارای دیدگاه توسط arvin
+1
@erfanm
ممنون از پاسختون..
فقط لطف ميكنيد تمام مراحل كه انجام داديد رو رو اين مثال پياده كنيد
$[2X]-[X]+3$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
62 نفر آنلاین
0 عضو و 62 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3247
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712388
...