به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
67 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط parham
ویرایش شده توسط fardina

محاسبه ي اين دو مجموع زير رو ميخواستم ...ممنون!!

$$ S_{1} =sin(a)+sin( a +d)+sin( a +2d)+...+sin( a +(n-1)d)$$

$$ S_{2} =cos( a )+cos(a +d)+cos(a +2d)+...+cos(a +(n-1)d )$$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

طرفین $S_1$ را در $2\sin \frac d2$ ضرب کنید و سپس از قوانین تبدیل ضرب به جمع زیر استفاده کنیم: $$2\sin a\sin b=\cos(a-b)-\cos(a+b)$$ داریم:

$2\sin(\frac d2 )S_1=2\sin a \sin\frac d2+2\sin(a+d)\sin\frac d2+2\sin(a+2d)\sin\frac d2+...+2\sin(a+(n-1)d)2\sin\frac d2$

در اینصورت:

$\require{cancel}2\sin( \frac d2 )S_1 = \big(\cos(a-\frac d2)- \cancel{\cos(a+\frac d2)\big)}+\big(\cancel{\cos(a+\frac d2)}-\cancel{\cos(a+\frac{3d}2)}\big)+\big(\cancel{\cos(a+\frac{3d}2)}-\cancel{\cos(a+\frac{5d}2)}\big)+...+\big(\cancel{\cos(a+\frac{2n-3}2d)}-\cos(a+\frac{2n-1}2d)\big)$

بنابراین $2\sin(\frac d2)S_1=\cos(a-\frac d2)-\cos(a+\frac{2n-1}2d)=2\sin(a+\frac{(n-1)d}2)\sin\frac{nd}2$

یعنی $$S_1=\frac{\sin(a+\frac{n-1}2d)\sin\frac{nd}2}{\sin\frac d2}$$ .

برای بعدی هم باز می توانید طرفین را در $2\sin \frac d2$ ضرب کنید و $S_2$ را به دست آورید.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
63 نفر آنلاین
1 عضو و 62 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 5413
بازدید دیروز: 6583
بازدید کل: 5017647
...