چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
1,221 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط asal4567
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

اثبات اين قضيه رو ميخواستم..

$$ |a | - |b | \leq | a-b | , |a+b | \leq |a | + |b | $$

ودر چه حالتي با هم برابر هستند.

دارای دیدگاه توسط asal4567
+2
@fardina
@arvin
ممنون از پاسخ هاتون فقط ..
اين نامساويي كه من گفتم فقط يك نامساوي..اون وكه گذاشتم يعني اينكه اونا در كنار هم هستن
اثبات كلي اين نامساوي رو ميخوام
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
باید زیر پاسخ ها دیدگاه میذاشتید نه اینجا. پاسخ رو ویرایش کردم.

3 پاسخ

+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

ميخواهيم به طور كلي اين موضوع رو بررسي كنيم.

بنابراين نامساوي هاي زير را مينويسيم.

1-)$$ | a+b | \leq | a| + |b | $$

2-)$$ |a-b | \leq | a | + |b | $$

3-)$$ | a| - | b | \leq | a+b | $$

4-)$$ | a | - |b | \leq | a-b| $$

5-)$$ | a | - | b| \leq |a | + | b | $$

6-)$$ | a-b | ؟ | a+b| $$

(علامت؟يعني اينكه نميتوان به طور كلي علامت نامساوي را قرار داد)

حال ميخواهيم تمام اين نامساوي هارا به يك نا مساوي كلي تبديل كنيم.

همانطور كه مشاهده ميكنيم

$ ( |a | + | b | ) \geq | a+b | , | a-b | , | a | - |b | $

$( | a | - | b | ) \leq | a+b | , | a-b| , |a | + | b| $

$ | a-b | ؟ | a+b| $

بنابراين نامساوي كلي را به صورت زير ميتوان نشان داد.

$$ |a | - |b | \leq | a-b| ? | a+b | \leq | a | + |b | $$

حال ميخواهيم نامساوي هاي بالا را اثبات كنيم

1-)$$ \begin{cases}- |a | \leq a \leq | a| & \- | b| \leq b \leq | b | & \end{cases} \rightarrow -( | a | + | b | ) \leq a+b \leq ( | a | + | b | ) \Rightarrow |a+b | \leq |a | + | b | $$

2-)$$ | a+(-b) | \leq | a| + | -b | $$

$$ | -b | =b \rightarrow | a-b | \leq | a| + | b |$$

3-)$$ | a|= | (a+b)-b | \leq | a+b | + | b| $$

$$ \rightarrow | a | \leq | a+b | + | b| \Rightarrow | a| - | b | \leq | a+b | $$

4-)$$ | a+b | \leq | a | + | b| $$

$$ \rightarrow |(a-b)+b | \leq | a-b| + |b | $$

$$ \rightarrow |a | \leq | a-b | + |b | $$

$$ \rightarrow | a | - |b | \leq | a-b| $$

5-)$$ | a | + | b | \geq |a-b | \geq | a | - | b| $$

$$ \rightarrow | a | + | b | \geq | a | - | b| $$

6-)$$ ( | a-b | )^{2} = a^{2} +b^{2} -2ab$$

$$ ( | a+b | )^{2} = a^{2} +b^{2} +2ab$$

اگر $ab=0$,$$ | a+b| = |a-b | $$

اگر$ab>0$,$$ |a+b | > | a-b | $$

اگر$ab<0$,$$ | a+b|< | a-b| $$

در نتيجه $ | a-b | ؟ | a+b| $

دارای دیدگاه توسط fardina
+2
کاملا درسته.
+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط arvin

$$ ( | a+b| )^{2}= a^{2} + b^{2} +2ab $$

$$ ( | a | + | b| )^{2}= a^{2} + b^{2} +2 | ab | $$

حال بررسي ميكنيم در 3 حالت..

اگر $ab = 0$

$$ ( | a+b | )^{2} =( | a | + | b| )^{2} \rightarrow | a+b | = | a| + | b | $$

اگر $ab > 0$

$$ ( | a+b | )^{2} =( | a | + | b| )^{2} \rightarrow | a+b | = | a| + | b | $$

اگر$ ab<0$

$$ ( | a+b | )^{2} > ( | a | + | b| )^{2} \rightarrow | a+b | > | a| + | b | $$

بنابراين نامساوي زير حاصل ميشود

$$ \ | a+b | \leq | a| + | b | $$

$$ ( | a-b| )^{2}= a^{2} + b^{2} -2ab $$

$$ ( | a | - | b| )^{2}= a^{2} + b^{2} -2 | ab | $$

حال بررسي ميكنيم در 3 حالت..

اگر $ab = 0$

$$ ( | a-b | )^{2} =( | a | - | b| )^{2} \rightarrow | a-b | = | a| - | b | $$

اگر $ab > 0$

$$ ( | a-b | )^{2} =( | a | - | b| )^{2} \rightarrow | a-b | = | a| - | b | $$

اگر$ ab<0$

$$ ( | a-b | )^{2} > ( | a | - | b| )^{2} \rightarrow | a-b | > | a| -| b | $$

بنابراين نامساوي زير حاصل ميشود

$$ \ | a-b | \geq | a| - | b | $$

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

می دانیم که

برای هر $x\in\mathbb R$همواره $-|x|\leq x\leq |x|$

(چرا؟کافی است حالت های بزرگتر مساوی صفر و کوچکتر از صفر را بررسی کنید).

و همچنین

برای $k>0$ داریم: $$|x|\leq k\iff -k\leq x\leq k$$

پس از $$-|b|\leq b\leq |b|$$ و $$-|a|\leq a\leq |a|$$داریم $$-(|a|+|b|)\leq a+b\leq |a|+|b|$$.

اگر قرار دهید $|a|+|b|=k$ و $x=a+b$ در اینصورت $$-k=-(|a|+|b|)\leq \underbrace{a+b}_x\leq |a|+|b|=k$$ که بنابر نکته بالا معادل است با $$|a+b|=|x|\leq k=|a|+|b|$$ .

پس تا حالا ثابت کردیم برای هر $a,b$ داریم $|a+b|\leq |a|+|b|$ . پس از جمله برای $A=a$ و $B=-b$ داریم $|a-b|=|A+B|\leq |A|+|B|=|a|+|-b|=|a|+|b|$ .

توجه کنید که از این نکته استفاده کردیم که $|-x|=|x|$ .


برای اثبات رابطه ی دوم: با استفاده از قسمت قبل و قرار دادن $x=a-b$ داریم

$$|a|=|a-b+b|=|x+b|\leq |x|+|b|=|a-b|+|b|$$ بنابراین $|a|-|b|\leq |a-b|$

اگربه جای $b$ قرار دهید $-b$داریم $|a|-|b|=|a|-|-b|\leq |a-(-b)|=|a+b|$ .

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
54 نفر آنلاین
0 عضو و 54 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3534
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687342
...