چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
1,080 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط asal4567

اگر سه جمله غير متوالي از يك دنباله ي حسابي ,تشكيل يك دنباله ي هندسي بدهند آنگاه قدر نسبت ايجاد شده چيست؟..(بااثبات)

ممنون!!

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

اگر جملات $r>s>t$ یک دنباله حسابی تشکیل سه جمله متوالی یک دنباله هندسی بدهند آنگاه روش سریع بدست آوردن قدر نسبت دنباله هندسی به صورت زیر است:

$$q= \frac{r-s}{s-t} $$

اما اگر بخواهیم از روش عادی حساب کنیم داریم: $ a_{r} =a +(r-1)d $ و $ a_{s} =a +(s-1)d $ و $ a_{t} =a +(t-1)d $ و بعنوان جملات دنباله هندسی رابطه ی زیر بینشون برقرار است: $$ a_{s}^{2} =a_{r} a_{t} \Rightarrow a^{2} +2ad(s-1)+ d^{2}(s-1)^{2} =a^{2}+ad(r+t-2)+d^{2}(r-1)(t-1)$$ با حذف $ a^{2}$ از طرفین و تقسیم طرفین بر $d$ داریم: $$ 2a(s-1)+ d(s-1)^{2} =a(r+t-2)+d(r-1)(t-1)=$$ $$ 2as-ar-at=2sd-dt-dr-d s^{2} +drt \Rightarrow $$ $$a= \frac{d(2s-t-r-s^{2} +rt)}{2s-r-t} $$ برای بدست آوردن قدر نسبت کافیست دو جمله را تقسیم کنیم: $$ \frac{a_{r}}{a_{t}} = \frac{a +(r-1)d}{a +(t-1)d} $$ با جایگذاری مقدار$ a $ ابتدا صورت را ساده می کنم. $$ \frac{d(2s-t-r-s^{2} +rt)}{2s-r-t}+ (r-1)d= $$ $$d \frac{2s-t-r-s^{2} +rt+2rs- r^{2}-rt-2s+r+t }{2s-r-t} = $$ $$ d \frac{-s^{2} -d \frac{ (r-s)^{2}}{2s-r-t} +2rs- r^{2}}{2s-r-t}=-d \frac{ (r-s)^{2}}{2s-r-t} $$ به طور مشابه مخرج هم برابر $$ -d \frac{ (s-t)^{2}}{2s-r-t} $$ است که با جایگذاری داریم: $$ q^{2}=\frac{a_{r}}{a_{t}}= \frac{(r-s)^{2}}{(s-t)^{2}} $$ و حکم ثابت می شود.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
43 نفر آنلاین
0 عضو و 43 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 729
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709871
...