به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
68 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط asal4567
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ a_{1} , a_{2} ,..., a_{n} $ دنباله اي از اعداد حقيقي مثبت باشد .معادله ي

$$4 x^{2}-4( \sqrt{ a_{1} + a_{2} +... a_{n} }) x +n(\sqrt[n]{ a_{1} .a_{2} .... a_{n } }) $$

چند ريشه دارد ؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اگر از رابطه ی بین میانگین هندسی و حسابی $\sqrt[n]{a_1...a_n}\leq \frac{a_1+...+a_n}{n}$ که در این سوال اثبات شده است استفاده کنید داریم:

$\Delta=b^2-4ac=16(a_1+...+a_n)-16n\sqrt[n]{a_1...a_n}\geq 0$ است. چون $\Delta\geq 0$ است لذا دو حالت را باید در نظر بگیریم: یا $\Delta> 0$ که در این صورت دو ریشه دارد یا $\Delta=0$ که در اینصورت فقط یک ریشه دارد.

توجه کنید که $\Delta=0$ معادل این است که میانگین هندسی و حسابی با هم برابر باشند که فقط در صورتی با هم برابرند که $a_1=a_2=...=a_n$ .

پس اگر در مساله فرض شود که حداقل دو تا از $a_i$ ها با هم برابر نیستند آنگاه معادله دو جواب حقیقی دارد.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
61 نفر آنلاین
0 عضو و 61 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 5463
بازدید دیروز: 6583
بازدید کل: 5017697
...