چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
78 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط arvin
ویرایش شده توسط erfanm

حل معادله زير رو ميخواستم$$[ x^{2} +[2 x^{2} ]]=13$$

تشكر!!

3 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

اين معادله را ميتوان جزو اين معادلات دانست..كه با روش حل كلي آنها آشنا شديم.بنابراين مينويسيم

$$[ x^{2} +[2 x^{2} ]]=13 \Rightarrow [ x^{2} ]+[2 x^{2} ]=13$$

$ x^{2} =t$

$$[t]+[2t]=13$$

$a=2,k=13$,$$n= \frac{k-[2p]}{a+1}= \frac{13-[2p]}{3} $$

$min([2p])=0$

$max([2p])=1$

حال بايد اعداد صحيحي كه دربازه ي$[0,1]$رو پيدا كنيم طوري كه از$ 13$ كم شوند ومضرب صحيحي از$3$باشند كه در نتيجه فقط$(1)$ميتواند باشد

بنابراين داريم$a=2,k=13$,$$n= \frac{k-[2p]}{a+1}= \frac{13-[2p]}{3} = \frac{13-1}{3}=4 $$

حال ما$(n=4)$را بدست آورده ايم وكافي است كه محدو دهي $p$رابدست بياورم تا محدودهي $t$مشخص شود كه براي اينكار داريم:$$[2p ]=1 \Rightarrow 1 \leq 2p < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} \leq p < 1$$

$$ \frac{1}{2} +n \leq n+p < n+1$$

$t=n+p,(n=4)$;$$ \frac{9}{2} \leq t < 5$$

حال جايگذاري ميكنيم$t= x^{2} $,

$$ \frac{9}{2} \leq x^{2} < 5$$

بنابراين$$ \sqrt{ \frac{9}{2} } \leq | x | < \sqrt{5} $$

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

$[ x^{2} +[2 x^{2} ]]=13$ چون $[2 x^{2} ]$ صحیح است و طبق نکته زیر

$[u+k]=[u]+k$

$13=[ x^{2} +[2 x^{2} ]]=[ x^{2}] +[2 x^{2} ]$ حال دو حالت در نظر میگیریم:

الف)$x^{2} =k+r $ که در آن $0 \leq r < \frac{1}{2} $ و $ k $عددی صحیح است. در این حالت $[ x^{2}]=k$و $2 x^{2} =2k+2r $ که $0 \leq 2r < 1$ پس $[2 x^{2} ]=2k $ ومعادله به صورت $3k=13$ در می اید که جواب ندارد

الف)$x^{2} =k+r $ که در آن $\frac{1}{2} \leq r < 1$ و $ k $عددی صحیح است. در این حالت $[ x^{2}]=k$و $2 x^{2} =2k+2r $ که $1 \leq 2r < 2$ پس $[2 x^{2} ]=2k+1 $ ومعادله به صورت $3k+1=13$ در می اید که جواب $k=4$ یا $ [ x^{2}]=4 $ است. پس طبق آنچه گفته شد $x^{2} =k+r =4+r$و $\frac{1}{2} \leq r < 1$ یعنی جواب کلی برابر $4.5 \leq x^{2} < 5$ است.

$ \sqrt{4.5} \leq \mid x \mid < \sqrt{5} $
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

فرض کنید $k\leq x^2< k+1$ که $k\in\mathbb Z$. در این صورت دو حالت را در نظر می گیریم:

حالت اول: اگر $k\leq x^2< k+\frac 12$ در این صورت $[x^2]=k$ و $[2x^2]=2k$و با جاگذاری در معادله اصلی داریم : $k+2k=13$ ولی چون در اینجا $k=\frac {13}3$ صحیح نیست لذا در این حالت جوابی نداریم.

حالت دوم: $k+\frac 12\leq x^2< k+1$ آنگاه $[x^2]=k$ و $[2x^2]=2k+1$ که با جاگذاری در معادله اصلی داریم $k+2k+1=13$ پس $k=\frac {12}3=4$ . یعنی در این حالت جواب برابر است با $\frac 92=4+\frac 12\leq x^2< 4+1=5$ .

لذا جواب برابر است با $\sqrt{\frac 92}\leq x< \sqrt 5$ یا $-\sqrt 5< x\leq -\sqrt{\frac 92}$ .

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
62 نفر آنلاین
0 عضو و 62 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2437
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673896
...