چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
168 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط parham

اثبات مجموع زير به چند روش؟

$$ S_{1} =1+2+3+....+n= \frac{n}{2} ( n+1)$$

3 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

اتحاد $(x+1)^{2} = x^{2} +2x+1$در نظر ميگيريم

اين اتحاد به ازاءهمه مقادير $x$بر قرار است. كه اگر $x$ را به ترتيب مساوي عدد هاي صحيح $(0,1,2,...,n)$در نظر بگيريم داريم:

$$x=0 \rightarrow 1^{2} =1$$

$$x=1 \rightarrow 2^{2} = 1^{2} +(2×1)+1$$

$$x=2 \rightarrow 3^{2} = 2^{2} +(2×2)+1$$

$$x=3 \rightarrow 4^{2} =3^{2} +(2×4)+1$$

$$.$$

$$.$$

$$.$$

$$x=n \rightarrow (n+1)^{2} =n^{2} +(2×n)+1$$

حال طرفين تساوي فوق را با هم جمع ميكنيم:

$$ 1^{2} + 2^{2} + ...+ n^{2} + (n+1)^{2}= ( 1^{2} + 2^{2} +...+ n^{2} )+2(1+2+..+n)+(1+...+1)$$

$$ \Rightarrow (n+1)^{2} =2(1+2+3+...+n)+n+1$$

$$ \Rightarrow 2 S_{1} = (n+1)^{2} -(n+1)$$

$$ \Rightarrow 2S_{1} = (n+1)[(n+1)-1]$$

$$2 S_{1} =n(n+1)$$

$$ S_{1} = \frac{n(n+1)}{2} $$

.

.

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

یکی از راه حل های معروف نوشتن مجموع خواسته شده به صورت زیر است:

$$\begin{array}{cccccc} S=&1&+2&+3&+...+&(n-1)&+n\\ S=&n&+(n-1)&+(n-2)&+...+&2&+1\\\hline 2S=&(n+1)&+(n+1)&+(n+1)&+...+&(n+1)&+(n+1) \end{array}$$ همانطور که میبینید دو بار مجموع را نوشتیم یک بار از $1$ تا $n$ و یک بار از $n$ تا $1$ . در اینصورت اگر دوطرف را با هم جمع کنیم میبینیم که هر جمله به اضافه جمعه متناظرش در سطر بعدی برابر $(n+1)$ است. اما $$2S=\underbrace{(n+1)+(n+1)+...+(n+1)}_{n-times}=n(n+1)$$ بنابراین $S=\frac{n(n+1)}2$ .

روش دیگر استفاده از اصل استقرای ریاضی است.

میخواهیم ثابت کنیم $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}2$

حکم برای $n=1$ به وضوح برقرار است.

فرض کنیم حکم برای $n$ برقرار باشد یعنی $ 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}2 $

نشان می دهیم که حکم برای $n+1$ نیز برقرار است یعنی $1+2+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}2$

از فرض استقرا داریم:

$$\begin{align}\underbrace{1+2+...+n}+(n+1)&=\frac{n(n+1)}2+(n+1)\\ &=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}\\ &=\frac{(n+1)(n+2)}2\end{align}$$

و حکم ثابت است.

البته راه حل های دیگری هم وجود دارند مثل راه حل هندسی و استفاده از ترکیبیات که امیدوارم کاربران دیگر اشاره بکنند.

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط yedost
ویرایش شده توسط yedost

الف: n زوج باشد:

اگر به ترتیب جملات اول و آخر را با هم جمع کنیم داریم: $$1+n=n+1$$

$$2+(n-1)=n+1$$ $$3+(n-2)=n+1$$

به همین ترتیب ادامه می دهیم: $$ (\frac{n}{2}-1)+(\frac{n}{2}+2)=n+1$$

$$ (\frac{n}{2})+(\frac{n}{2}+1)=n+1$$

بدین ترتیب $ \frac{n}{2}$ تا جمله $(n+1)$ به دست می آید، پس مجموع اعداد 1 تا $n$ برابر است با:

$$\frac{n}{2}(n+1)$$

ب: n فرد باشد:

$$1+n=n+1$$

$$2+(n-1)=n+1$$ به همین ترتیب ادامه می دهیم:

$$\frac{n-1}{2}+(\frac{n-1}{2}+2)=n+1$$ و جمله وسط $ (\frac{n-1}{2}+1)$ به دست می آید.

از مجموع این جملات، $\frac{n-1}{2}$ تا جمله $(n+1) $ بعلاوه جمله $ (\frac{n-1}{2}+1)$ به دست می آید: $$(\frac{n-1}{2})(n+1)+(\frac{n-1}{2}+1)=\frac{n}{2}(n+1)$$

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
این استدلال برای وقتی که n زوج باشه درسته.
دارای دیدگاه توسط yedost
ممنون، اصلاحش کردم.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
89 نفر آنلاین
1 عضو و 88 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3707
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4698747
...