چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+5 امتیاز
88 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط meh123456
ویرایش شده توسط AmirHosein

نشان دهید که اگر$A$و$B$ دو ماتریس ثابت $n \times n $با خاصیت $AB=BA$باشند رابطه زیر برقرار است: $e^{(A+B)t}=e^{At}e^{Bt}$.

مرجع: نظریه معادلات دیفرانسیل و سیستم های دینامیکی دکتر خیری

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

از اینکه این دو ماتریس جابجا می‌شوند برای اینکه بتوانیم توان جمع‌شان را به شکل بسط نیوتن‌خیام بنویسیم استفاده می‌کنیم یعنی در تساوی سوم در محاسبهٔ زیر. $$\begin{array}{ll} e^{(A+B)t} & =\sum_{k=0}^\infty\frac{((A+B)t)^k}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\frac{(At+Bt)^k}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\dfrac{\sum_{i=0}^k(At)^i(Bt)^{k-i}}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\dfrac{\sum_{i=0}^k\frac{k!}{i!(k-i)!}(At)^i(Bt)^{k-i}}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\sum_{i=0}^k\frac{(At)^i}{i!}\frac{(Bt)^{k-i}}{(k-i)!}\\ & =(\sum_{k=0}^\infty\frac{(At)^k}{k!})(\sum_{k=0}^\infty\frac{(Bt)^k}{k!})\\ & =e^{At}e^{Bt} \end{array}$$

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano

می‌دانیم جواب یکتای معادله $X'(t)=MX(t)$ با شرط اولیه $X(0)=I$ برابر $e^{tM} $ . قرار می دهیم $X(t)= e^{At} e^{Bt} $ و از طرفین نسبت به t مشتق میگیریم داریم

$X'(t)=Ae^{At} e^{Bt}+e^{At} B e^{Bt}=(A+B)e^{At} e^{Bt} ?????$ پس $X'(t)=(A+B)X(t) $ بنابراین $ e^{(A+B)t} =e^{At} e^{Bt}$.

علامت سوال رو میتونید با نوشتن بسط e و جابه جایی بودن ماتریس ها توجیه کنین که برعهده خودتون.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
107 نفر آنلاین
0 عضو و 107 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2357
بازدید دیروز: 12337
بازدید کل: 4533512
...