به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+5 امتیاز
91 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط meh123456
ویرایش شده توسط AmirHosein

نشان دهید که اگر$A$و$B$ دو ماتریس ثابت $n \times n $با خاصیت $AB=BA$باشند رابطه زیر برقرار است: $e^{(A+B)t}=e^{At}e^{Bt}$.

مرجع: نظریه معادلات دیفرانسیل و سیستم های دینامیکی دکتر خیری

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

از اینکه این دو ماتریس جابجا می‌شوند برای اینکه بتوانیم توان جمع‌شان را به شکل بسط نیوتن‌خیام بنویسیم استفاده می‌کنیم یعنی در تساوی سوم در محاسبهٔ زیر. $$\begin{array}{ll} e^{(A+B)t} & =\sum_{k=0}^\infty\frac{((A+B)t)^k}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\frac{(At+Bt)^k}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\dfrac{\sum_{i=0}^k(At)^i(Bt)^{k-i}}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\dfrac{\sum_{i=0}^k\frac{k!}{i!(k-i)!}(At)^i(Bt)^{k-i}}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\sum_{i=0}^k\frac{(At)^i}{i!}\frac{(Bt)^{k-i}}{(k-i)!}\\ & =(\sum_{k=0}^\infty\frac{(At)^k}{k!})(\sum_{k=0}^\infty\frac{(Bt)^k}{k!})\\ & =e^{At}e^{Bt} \end{array}$$

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano

می‌دانیم جواب یکتای معادله $X'(t)=MX(t)$ با شرط اولیه $X(0)=I$ برابر $e^{tM} $ . قرار می دهیم $X(t)= e^{At} e^{Bt} $ و از طرفین نسبت به t مشتق میگیریم داریم

$X'(t)=Ae^{At} e^{Bt}+e^{At} B e^{Bt}=(A+B)e^{At} e^{Bt} ?????$ پس $X'(t)=(A+B)X(t) $ بنابراین $ e^{(A+B)t} =e^{At} e^{Bt}$.

علامت سوال رو میتونید با نوشتن بسط e و جابه جایی بودن ماتریس ها توجیه کنین که برعهده خودتون.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...