چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
65 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط meh123456
ویرایش شده توسط AmirHosein

اگر $A$ پادمتقارن باشد یعنی $ A^t=-A$ آنگاه ثابت کنید $I-A$ وارون‌پذیر است و $((I-A)^{-1}(I+A)$ ماتریسی متعامد است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein

ماتریس $A$ پادمتقارن است. از این ویژگی‌ می‌خواهیم استفاده کنیم. نخست به یاد آورید که یکی از شرط‌های هم‌ارز وارون‌پذیری یکتا بودن پاسخ دستگاه همگن $Av=0$ می‌بود یعنی باید تنها پاسخ این دستگاه بردار صفر شود. اینجا می‌خواهیم وارون‌پذیری ماتریس $I-A$ را بررسی کنیم پس باید این شرط را روی این ماتریس پیاده کنیم. $$\begin{array}{ll} (I-A)v=0 & \Longrightarrow v-Av=0\\ & \Longrightarrow v=Av \end{array}$$ اکنون از نرم استفاده می‌کنیم. می‌دانیم که یک بردار صفر است اگر و تنها اگر نرم آن صفر شود. $$\begin{array}{ll} ||v||=v^tv & =v^t(Av)=v^tAv\\ & =(Av)^tv=v^tA^tv=v^t(-A)v=-v^tAv \end{array}$$ در نتیجه $$\begin{array}{l} \Longrightarrow v^tAv=-v^tAv\\ \Longrightarrow v^tAv=0\\ \Longrightarrow ||v||=0\\ \Longrightarrow v=0 \end{array}$$ پس وارون‌پذیریِ $I-A$ ثابت شد.

اینک قسمت دوم پرسش. یک ماتریس متعامد بود اگر ضربش در ترانهاده‌اش، همانی می‌شد (در حالت مختلط هرمیتی استفاده می‌شود که احتمالا خواست پرسش‌گر نبوده‌است). پس بیاییم تعریف را روی ماتریس $(I-A)^{-1}(I+A)$ پیاده کنیم. $$\begin{array}{ll} \Big((I-A)^{-1}(I+A)\Big)\Big((I-A)^{-1}(I+A)\Big)^t & =(I-A)^{-1}(I+A)(I+A)^t\big((I-A)^{-1}\big)^t\\ & =(I-A)^{-1}(I+A)(I-A)\big((I-A)^t\big)^{-1}\\ & =(I-A)^{-1}(I+A)(I-A)(I+A)^{-1}\\ & =(I-A)^{-1}(I-A)(I+A)(I+A)^{-1}\\ & =I \end{array}$$ توجه کنید که در اثبات بالا در تساوی چهارم دو ماتریس میانی را جابجا کردیم. همیشه این کار ممکن نیست. چیزی که اینجا استفاده شده است این است که؛ $$(I+A)(I-A)=I+A-A-A^2=I-A+A-A^2=(I-A)(I+A)$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
109 نفر آنلاین
0 عضو و 109 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2377
بازدید دیروز: 12337
بازدید کل: 4533532
...