به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
63 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط meh123456
ویرایش شده توسط رها

اگر $A$ماتریسی $n \times n$ باشدو $b $برداری $n \times 1$ باشدروش تکراری $SOR $برای حل دستگاه $AX=b$را توضیح دهید و با ذکر دلیل بگویید که این روش چه موقع همگراست؟

مرجع: جبرخطی بیسوانات
دارای دیدگاه توسط رها
+1
لطفا راهنمای تایپ رو کامل بخونید و تایپ  ریاضی رو دقیق انجام بدین!

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

در این روش با یک تقریب اولیه و انتخاب $ \omega $ مناسب از فرمول تکراری زیر استفاده می کنیم تا اینکه به جواب دلخواه با تقریب مناسب برسیم(یعنی جواب جدید نسبت به جواب قبلی تقریبا ثابت باشد اختلافشون از $ \epsilon $ که می خواهیم کوچک تر باشد) $$ x_{i} ^{k} =(1-\omega) x_{i} ^{k-1}+ \frac{\omega}{ a_{ii} } ( b_{i} - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_{j} ^{k}-\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_{j} ^{k-1} )$$

اگر این روش همگرا باشد باید $ \omega $ ای که از فرمولهای $ \omega $ بدست می آید(با توجه به ماتریس ضرایب و شرایط مساله) در رابطه $0< \omega < 2 $ صدق کند تا روش بتواند همگرا باشد.

قضیه کلی زیر را برای همگرایی روشهای تکراری داریم:

قضیه همگرایی : روش تکراری $ X^{k} =H X^{k-1} $ که برای حل سیستم $AX=b $ به کار گرفته می شود علیرغم هر تقریب اولیه همگرا به مقدار واقعی جواب است اگر $ \parallel H \parallel < 1 $

اما برای این روش قضیه ی مشهوری استروسکی-ریچ را داریم:هرگاه $ A $ یک ماتریس معین مثبت بوده و $0< \omega < 2 $ آنگاه روش $SOR $ با انتخاب هر مقدار اولیه ای همگرا خواهد بود.

برگرفته از کتاب آنالیز عددی ریچارد ال بوردن

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
45 نفر آنلاین
0 عضو و 45 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2146
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5007798
...