چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
62 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط meh123456
ویرایش شده توسط رها

اگر $A$ماتریسی $n \times n$ باشدو $b $برداری $n \times 1$ باشدروش تکراری $SOR $برای حل دستگاه $AX=b$را توضیح دهید و با ذکر دلیل بگویید که این روش چه موقع همگراست؟

مرجع: جبرخطی بیسوانات
دارای دیدگاه توسط رها
+1
لطفا راهنمای تایپ رو کامل بخونید و تایپ  ریاضی رو دقیق انجام بدین!

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

در این روش با یک تقریب اولیه و انتخاب $ \omega $ مناسب از فرمول تکراری زیر استفاده می کنیم تا اینکه به جواب دلخواه با تقریب مناسب برسیم(یعنی جواب جدید نسبت به جواب قبلی تقریبا ثابت باشد اختلافشون از $ \epsilon $ که می خواهیم کوچک تر باشد) $$ x_{i} ^{k} =(1-\omega) x_{i} ^{k-1}+ \frac{\omega}{ a_{ii} } ( b_{i} - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_{j} ^{k}-\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_{j} ^{k-1} )$$

اگر این روش همگرا باشد باید $ \omega $ ای که از فرمولهای $ \omega $ بدست می آید(با توجه به ماتریس ضرایب و شرایط مساله) در رابطه $0< \omega < 2 $ صدق کند تا روش بتواند همگرا باشد.

قضیه کلی زیر را برای همگرایی روشهای تکراری داریم:

قضیه همگرایی : روش تکراری $ X^{k} =H X^{k-1} $ که برای حل سیستم $AX=b $ به کار گرفته می شود علیرغم هر تقریب اولیه همگرا به مقدار واقعی جواب است اگر $ \parallel H \parallel < 1 $

اما برای این روش قضیه ی مشهوری استروسکی-ریچ را داریم:هرگاه $ A $ یک ماتریس معین مثبت بوده و $0< \omega < 2 $ آنگاه روش $SOR $ با انتخاب هر مقدار اولیه ای همگرا خواهد بود.

برگرفته از کتاب آنالیز عددی ریچارد ال بوردن

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3226
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712367
...