به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
527 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط behruz

نشان دهید اگر ماتریس $A $ غالب قطری اکید باشد یعنی $a_{ii}> \sum_{j=1,j \neq i}^n a_{ij} $ آنگاه روش ژاکوبی همگراست.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

قضیه همگرایی : روش تکراری $ X^{k} =H X^{k-1} $ که برای حل سیستم $AX=b $ به کار گرفته می شود علیرغم هر تقریب اولیه همگرا به مقدار واقعی جواب است اگر $ \parallel H \parallel < 1 $

طبق فرض داریم: $a_{ii}> \sum_{j=1,j \neq i}^n a_{ij} $ یا $ \sum_{j=1,j \neq i}^n \frac{a_{ij}}{a_{ii}} < 1$

فرض کنید: $$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \ldots &a_{1n} \\a_{21} & a_{22}& \ldots &a_{2n} \\ \ddots \\a_{n1} & a_{n2}& \ldots &a_{nn} \end{bmatrix} $$

اگر روش ژاکوبی باشد داریم: $H= D^{-1} (L+U)$ که $$D= \begin{bmatrix} a_{11} & 0& \ldots &0 \\0 & a_{22}& \ldots &0\\ \ddots \\0 & 0& \ldots &a_{nn} \end{bmatrix}$$ پس: $$D^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_{11} } & 0& \ldots &0 \\0 & \frac{1}{a_{22} }& \ldots &0\\ \ddots \\0 & 0& \ldots & \frac{1}{a_{nn}} \end{bmatrix}$$ و $$L+U= \begin{bmatrix} 0 & a_{12}& \ldots &a_{1n} \\a_{21} & 0& \ldots &a_{2n} \\ \ddots \\a_{n1} & a_{n2}& \ldots &0 \end{bmatrix} $$ پس$ H $ برابر است با: $$H=\begin{bmatrix} 0 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & \ldots & \frac{a_{1n}}{a_{11}} \\ \frac{a_{21}}{a_{22}} & 0& \ldots & \frac{a_{2n}}{a_{22}} \\ \ddots \\ \frac{a_{n1}}{a_{nn}} & \frac{a_{n2}}{a_{nn}}& \ldots &0 \end{bmatrix} $$ حال کافیست نرم ماکزیمم سطری ماتریس را حساب کنیم که $$\sum_{j=1,j \neq i}^n \frac{a_{ij}}{a_{ii}} $$ می شود که طبق آنچه در اول گفته شد از $1$ کمتر است و طبق قضیه همگرایی این روش همگرا است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...