چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
473 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط behruz

نشان دهید اگر ماتریس $A $ غالب قطری اکید باشد یعنی $a_{ii}> \sum_{j=1,j \neq i}^n a_{ij} $ آنگاه روش ژاکوبی همگراست.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

قضیه همگرایی : روش تکراری $ X^{k} =H X^{k-1} $ که برای حل سیستم $AX=b $ به کار گرفته می شود علیرغم هر تقریب اولیه همگرا به مقدار واقعی جواب است اگر $ \parallel H \parallel < 1 $

طبق فرض داریم: $a_{ii}> \sum_{j=1,j \neq i}^n a_{ij} $ یا $ \sum_{j=1,j \neq i}^n \frac{a_{ij}}{a_{ii}} < 1$

فرض کنید: $$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \ldots &a_{1n} \\a_{21} & a_{22}& \ldots &a_{2n} \\ \ddots \\a_{n1} & a_{n2}& \ldots &a_{nn} \end{bmatrix} $$

اگر روش ژاکوبی باشد داریم: $H= D^{-1} (L+U)$ که $$D= \begin{bmatrix} a_{11} & 0& \ldots &0 \\0 & a_{22}& \ldots &0\\ \ddots \\0 & 0& \ldots &a_{nn} \end{bmatrix}$$ پس: $$D^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_{11} } & 0& \ldots &0 \\0 & \frac{1}{a_{22} }& \ldots &0\\ \ddots \\0 & 0& \ldots & \frac{1}{a_{nn}} \end{bmatrix}$$ و $$L+U= \begin{bmatrix} 0 & a_{12}& \ldots &a_{1n} \\a_{21} & 0& \ldots &a_{2n} \\ \ddots \\a_{n1} & a_{n2}& \ldots &0 \end{bmatrix} $$ پس$ H $ برابر است با: $$H=\begin{bmatrix} 0 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & \ldots & \frac{a_{1n}}{a_{11}} \\ \frac{a_{21}}{a_{22}} & 0& \ldots & \frac{a_{2n}}{a_{22}} \\ \ddots \\ \frac{a_{n1}}{a_{nn}} & \frac{a_{n2}}{a_{nn}}& \ldots &0 \end{bmatrix} $$ حال کافیست نرم ماکزیمم سطری ماتریس را حساب کنیم که $$\sum_{j=1,j \neq i}^n \frac{a_{ij}}{a_{ii}} $$ می شود که طبق آنچه در اول گفته شد از $1$ کمتر است و طبق قضیه همگرایی این روش همگرا است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
44 نفر آنلاین
0 عضو و 44 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 738
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709880
...