به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
99 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fardina

فرض کنید $ f:\mathbb R\to\mathbb R $ یک تابع پیوسته بوده که جمعی نیز می باشد یعنی به ازای هر $ x,y\in\mathbb R $ : $$f(x+y)=f(x)+f(y) $$ همه ی توابع پیوسته جمعی را تعیین کنید.

دارای دیدگاه توسط zh
انتقال داده شده توسط admin
+1

میشه توابع خطی به فرم $ y=ax $.

دارای دیدگاه توسط zh
+1
اا..admin: چرا جواب منو تو دیدگاه گذاشتی؟؟؟
حوصله نداشتم جوابو بنویسم.
دارای دیدگاه توسط admin
+1
ممنون از جوابتون. ولی در قسمت پاسخ باید جواب با جزییات نوشته بشه. به خاطر همین پاسختون انتقال داده شد.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط fardina

ابتدا بجای $ y $ هم $ x $ قرار میدهیم لذا$f(2x)=2f(x) $ و با استقرا بدست می آوریم که $f(nx)=nf(x) $. حال بجای $ x$ ,$1$ قرار میدهیم لذا $f(n)=nf(1) $ بعد رابطه ی زیر را بدست می آوریم:

$$f(1)=f(m \times \frac{1}{m})=mf( \frac{1}{m}) \Rightarrow f( \frac{1}{m})= \frac{f(1)}{m} $$ پس برای هر$n,m $ داریم:

$$f( \frac{n}{m} )=f(n \times \frac{1}{m})=nf( \frac{1}{m}) = \frac{n}{m}f(1) $$ یابطور معادل اگر $ x$ عددی گویا باشد آنگاه $ f(x)=xf(1) $ .

حال فرض کنید $ x$ عددی گنگ باشد آنگاه دنباله ای از اعداد گویا مانند دنباله $ x_{n} $ موجود است که به$ x$ همگراست چون تابع $ f$ تابعی پیوسته است لذا $f( x_{n} ) $ هم به $ f(x) $ همگراست. اما $f( x_{n} )=x_{n} f(1) $ که به $xf(1) $ همگراست و چون مقدار همگرایی هر دنباله یکتاست پس $f(x)=xf(1) $ یعنی برای هر $ x $ داریم $f(x)=xf(1) $ و لذا تمام توابع پیوسته جمعی بصورت $ f(x)=ax $است که در آن $ a=f(1) $.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
66 نفر آنلاین
2 عضو و 64 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3877
بازدید دیروز: 5659
بازدید کل: 5021769
...