چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
96 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fardina

فرض کنید $ f:\mathbb R\to\mathbb R $ یک تابع پیوسته بوده که جمعی نیز می باشد یعنی به ازای هر $ x,y\in\mathbb R $ : $$f(x+y)=f(x)+f(y) $$ همه ی توابع پیوسته جمعی را تعیین کنید.

دارای دیدگاه توسط zh
انتقال داده شده توسط admin
+1

میشه توابع خطی به فرم $ y=ax $.

دارای دیدگاه توسط zh
+1
اا..admin: چرا جواب منو تو دیدگاه گذاشتی؟؟؟
حوصله نداشتم جوابو بنویسم.
دارای دیدگاه توسط admin
+1
ممنون از جوابتون. ولی در قسمت پاسخ باید جواب با جزییات نوشته بشه. به خاطر همین پاسختون انتقال داده شد.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط fardina

ابتدا بجای $ y $ هم $ x $ قرار میدهیم لذا$f(2x)=2f(x) $ و با استقرا بدست می آوریم که $f(nx)=nf(x) $. حال بجای $ x$ ,$1$ قرار میدهیم لذا $f(n)=nf(1) $ بعد رابطه ی زیر را بدست می آوریم:

$$f(1)=f(m \times \frac{1}{m})=mf( \frac{1}{m}) \Rightarrow f( \frac{1}{m})= \frac{f(1)}{m} $$ پس برای هر$n,m $ داریم:

$$f( \frac{n}{m} )=f(n \times \frac{1}{m})=nf( \frac{1}{m}) = \frac{n}{m}f(1) $$ یابطور معادل اگر $ x$ عددی گویا باشد آنگاه $ f(x)=xf(1) $ .

حال فرض کنید $ x$ عددی گنگ باشد آنگاه دنباله ای از اعداد گویا مانند دنباله $ x_{n} $ موجود است که به$ x$ همگراست چون تابع $ f$ تابعی پیوسته است لذا $f( x_{n} ) $ هم به $ f(x) $ همگراست. اما $f( x_{n} )=x_{n} f(1) $ که به $xf(1) $ همگراست و چون مقدار همگرایی هر دنباله یکتاست پس $f(x)=xf(1) $ یعنی برای هر $ x $ داریم $f(x)=xf(1) $ و لذا تمام توابع پیوسته جمعی بصورت $ f(x)=ax $است که در آن $ a=f(1) $.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
63 نفر آنلاین
0 عضو و 63 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2443
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673902
...