به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
430 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

نشان دهید یک فضای هیلبرت متناهی البعد است اگر وتنها اگر موضعا فشرده باشد

مرجع: هالموس
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
کتاب A Hilbert Space Problem Book مگر در آخر جواب مسایل داده نشده؟؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط dr
ویرایش شده توسط dr

می دانیم که یک فضای نرمدار موضعا محدب است $ \Longleftrightarrow $گوی یکه ی بسته در آن فشرده باشد.

بنابراین کافیست ثابت کنیم که یک فضای هیلبرت متناهی البعد است اگر و تنها اگر گوی یکه ی بسته در آن فشرده باشد..

$ \Longleftarrow $اگر فضای هیلبرت$H$متناهی البعد باشد.و $dimH=n$ آنگاه $H \cong C^{n} $.حال چون گوی یکه ی بسته در $ C^{n} $ فشرده است(چون هم کراندار و هم متناهی است)بنابراین گوی یکه ی بسته در $H$نیز فشرده خواهد بود.

$ \Longrightarrow $برای اثبات این قسمت از عکس نقیض استفاده میکنیم.یعنی نشان می دهیم که در فضای هیلبرت نامتناهی البعد گوی واحد فشرده نیست.

فرض کنیم $H$نامتناهی البعد باشد،و فرض کنیم که $ \big( x_{n} \big) _{n \in N} $دنباله ای یکا متعامد از $H$باشد.این دنباله نمی تواند هیچ زیر دنباله ی همگرایی داشته باشد چرا که هیچ زیر دنباله ی آن نمی تواند کوشی باشد چرا که برای هر دو عدد صحیح متمایز $m $و$n$ از اتحاد قطبی و متعامد یکه بودن دنباله ی مذکور داریم $$ \parallel x_{n} - x_{m} \parallel ^{2} = \parallel x_{n} \parallel ^{2} + \parallel x_{m} \parallel ^{2 } = 2$$ .

از اینرو گوی یکه ی بسته نمی تواند فشرده ی دنباله ای باشد. از طرفی چون فضای هیلبرت یک فضای نرمدار و در نتیجه متریک است و در فضای متریک فشرده بودن معادل فشرده ی دنباله ایست بنابراین گوی یکه ی بسته در فضای هیلبرت نامتناهی البعد فشرده نخواهد بود.

در حالت کلی میتوان ثابت کرد که یک فضای نرمدار موضعا فشرده است اگر و تنها اگر گوی یکه ی بسته ی آن فشرده باشد.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...