به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
423 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط سحرناز

نشان دهید یک فضای هیلبرت متناهی البعد است اگر وتنها اگر موضعا فشرده باشد

مرجع: هالموس
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
کتاب A Hilbert Space Problem Book مگر در آخر جواب مسایل داده نشده؟؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط dr
ویرایش شده توسط dr

می دانیم که یک فضای نرمدار موضعا محدب است $ \Longleftrightarrow $گوی یکه ی بسته در آن فشرده باشد.

بنابراین کافیست ثابت کنیم که یک فضای هیلبرت متناهی البعد است اگر و تنها اگر گوی یکه ی بسته در آن فشرده باشد..

$ \Longleftarrow $اگر فضای هیلبرت$H$متناهی البعد باشد.و $dimH=n$ آنگاه $H \cong C^{n} $.حال چون گوی یکه ی بسته در $ C^{n} $ فشرده است(چون هم کراندار و هم متناهی است)بنابراین گوی یکه ی بسته در $H$نیز فشرده خواهد بود.

$ \Longrightarrow $برای اثبات این قسمت از عکس نقیض استفاده میکنیم.یعنی نشان می دهیم که در فضای هیلبرت نامتناهی البعد گوی واحد فشرده نیست.

فرض کنیم $H$نامتناهی البعد باشد،و فرض کنیم که $ \big( x_{n} \big) _{n \in N} $دنباله ای یکا متعامد از $H$باشد.این دنباله نمی تواند هیچ زیر دنباله ی همگرایی داشته باشد چرا که هیچ زیر دنباله ی آن نمی تواند کوشی باشد چرا که برای هر دو عدد صحیح متمایز $m $و$n$ از اتحاد قطبی و متعامد یکه بودن دنباله ی مذکور داریم $$ \parallel x_{n} - x_{m} \parallel ^{2} = \parallel x_{n} \parallel ^{2} + \parallel x_{m} \parallel ^{2 } = 2$$ .

از اینرو گوی یکه ی بسته نمی تواند فشرده ی دنباله ای باشد. از طرفی چون فضای هیلبرت یک فضای نرمدار و در نتیجه متریک است و در فضای متریک فشرده بودن معادل فشرده ی دنباله ایست بنابراین گوی یکه ی بسته در فضای هیلبرت نامتناهی البعد فشرده نخواهد بود.

در حالت کلی میتوان ثابت کرد که یک فضای نرمدار موضعا فشرده است اگر و تنها اگر گوی یکه ی بسته ی آن فشرده باشد.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
27 نفر آنلاین
1 عضو و 26 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4181
بازدید دیروز: 4859
بازدید کل: 4862812
...