به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
60 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط asal4567
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

$$ \frac{uu'}{|u|}= | u |'$$

حال سوال من اين است كه آيااين برابري صحيح است يا خير با دليل؟$$ \frac{|u|u'}{u} = \frac{uu'}{|u|} $$

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اگر $f(x)=|x|$ در اینصورت می دانیم که در $x=0$ مشتق ناپذیر است و برای $x\neq 0$ داریم: $$\begin{align}f'(x)&=(|x|)'\\ &=(\sqrt{x^2})'\\ &=((x^2)^{1/2})'\\ &=\frac 12(2x)(x^2)^\frac{-1}2\\ &=\frac{x}{\sqrt{x^2}}\\ &=\frac x{|x|}\end{align}$$

و بنابر قاعده زنجیری برای تابع $y=f(u)=|u|$ داریم: $$(f(u))'=(|u|)'=u'f'(u)=u'\frac u{|u|}$$

حال اگر بخواهید دو تابع $f(x)=\frac x{|x|}$ و $g(x)=\frac{|x|}x$ در اینصورت دامنه های هر دو برابر است با $\mathbb R\setminus\{0\}$ و همچنین $$f(x)=\frac{x}{|x|}=\begin{cases}\frac xx=1& x> 0\\ \frac x{-x}=-1& x< 0\end{cases}$$ و به همین ترتیب $g(x)=\begin{cases}1& x>0\\ -1& x< 0\end{cases}$

بنابراین $f(x)=g(x)$ . و لذا $$\frac{u}{|u|}=\frac{|u|}{u}$$

پس برابری ای که شما بیان کردید به نظر میرسه درست است.

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط OXIDE

از آنجایی که $ \frac{|x|}{x}= \frac{x}{|x|} $ به راحتی $u'$ از طرفین حذف شده و مسله اثبات میشود.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
43 نفر آنلاین
0 عضو و 43 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2227
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5007879
...