چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
60 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط asal4567
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

$$ \frac{uu'}{|u|}= | u |'$$

حال سوال من اين است كه آيااين برابري صحيح است يا خير با دليل؟$$ \frac{|u|u'}{u} = \frac{uu'}{|u|} $$

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اگر $f(x)=|x|$ در اینصورت می دانیم که در $x=0$ مشتق ناپذیر است و برای $x\neq 0$ داریم: $$\begin{align}f'(x)&=(|x|)'\\ &=(\sqrt{x^2})'\\ &=((x^2)^{1/2})'\\ &=\frac 12(2x)(x^2)^\frac{-1}2\\ &=\frac{x}{\sqrt{x^2}}\\ &=\frac x{|x|}\end{align}$$

و بنابر قاعده زنجیری برای تابع $y=f(u)=|u|$ داریم: $$(f(u))'=(|u|)'=u'f'(u)=u'\frac u{|u|}$$

حال اگر بخواهید دو تابع $f(x)=\frac x{|x|}$ و $g(x)=\frac{|x|}x$ در اینصورت دامنه های هر دو برابر است با $\mathbb R\setminus\{0\}$ و همچنین $$f(x)=\frac{x}{|x|}=\begin{cases}\frac xx=1& x> 0\\ \frac x{-x}=-1& x< 0\end{cases}$$ و به همین ترتیب $g(x)=\begin{cases}1& x>0\\ -1& x< 0\end{cases}$

بنابراین $f(x)=g(x)$ . و لذا $$\frac{u}{|u|}=\frac{|u|}{u}$$

پس برابری ای که شما بیان کردید به نظر میرسه درست است.

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط OXIDE

از آنجایی که $ \frac{|x|}{x}= \frac{x}{|x|} $ به راحتی $u'$ از طرفین حذف شده و مسله اثبات میشود.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
57 نفر آنلاین
0 عضو و 57 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 422
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709564
...