چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
123 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط asal4567
ویرایش شده توسط fardina

$ a^{n} =a^{m} $

ثابت كنيد كه$n=m$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

اولا همیشه چنین چیزی درست نیست و باید $a \neq 0 $ و $a \neq 1$ باشد حال فرض $a \neq 0 $ باشد دو حالت داریم یا $ a > 0 $و $a \neq 1$ یا $ a < 0 $و $a \neq 1$ فرض کنید $ a > 0 $و $a \neq 1$ باشد

$ log _{a} $ یک تابع است لذا به ازای هر ورودی فقط و فقط یک خروجی دارد و به ازای ورودی $ a^{n} $ خروجی $n$ را داریم و به ازای همان مقدار ورودی یعنی $ a^{m} $ خروجی $ m $ را داریم و از آنجایی که یک خروجی دارد لذا باید $n=m $باشد.

برای حالت دوم از آنجایی که $ a^{n}=a^{m} $ لذا $ \mid a^{n} \mid = \mid a^{m} \mid $ یعنی $ \mid a \mid ^{n}= \mid a \mid ^{m} $ حال قرار می دهیم $b= \mid a \mid $ پس داریم: $ b^{n}=b^{m} $ که در آن $ b > 0 $و $b \neq 1$ و طبق حالت اول باید $n=m $ باشد.


اگر $ a $ منفی باشد آنگاه قرار می دهیم $ a= - \mid a \mid $ و با جایگذاری خواهیم داشت

$ a^{n}=a^{m} \Rightarrow (-1)^{n} (\mid a \mid)^{n}=(-1)^{m}(\mid a \mid)^{m} $ و از آنجایی که علامت دو طرف یکی است لذا $(-1)^{n}=(-1)^{m}$ و با حذف از طرفین $(\mid a \mid)^{n}=(\mid a \mid)^{m}$ را خواهیم داشت و مانند حالت های بالا حکم ثابت می شود.

دارای دیدگاه توسط amirm20
@erfanm

شما گفتيد:$ (-1)^{m} = (-1)^{n} $  $m=n \longleftarrow $

پس اينا چطوري توجيه ميشه !! $ (-1)^{2} = (-1)^{4} $

$4 \neq 2$

و در آخر اينكه در حال كلي اين رابطه ($ a^{n} = a^{m} $  $n=m \longleftarrow $)در چه
 حالتي برقراره؟؟؟
ممنون
دارای دیدگاه توسط erfanm
من چیزی که نوشتید رو نگفتم
لطفا با دقت بیشتری ملاحظه بفرمایید.
دارای دیدگاه توسط M.B
+1
ممنون بابت پاسخ جامعتون. فقط اینکه لگاریتم یک تابع هست  از همین نکته نتیجه نمیشه؟
دارای دیدگاه توسط erfanm
همونیه که شما فرمودید فقط باید دامنه لگاریتم رو هم در نظر بگیریم
پس اگر $a$ منفی باشه نمیتوان راحت لگاریتم گرفت
دارای دیدگاه توسط M.B
خب ما از تابع بودن لگاریتم برای اثبات این حکم استفاده کردیم ؛ در حالیکه برای اثبات تابع بودن لگاریتم دقیقا باید از این حکم استفاده کنیم!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
39 نفر آنلاین
0 عضو و 39 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 778
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709920
...