چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
198 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط fardina

نقطه ای با کدام طول بر روي محور $ x$ ها انتخاب شود به طوری که تفاضل فواصل آن از دو نقطه ی $ A(1,5) $ و $(7,-2) $ بیشترین مقدار را داشته باشد؟

  1. $ 8 $
  2. $ 9 $
  3. $10 $
  4. $ 11 $

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط eski
ویرایش شده توسط fardina

حل این مساله ساده س,فقط کافیه فرمول فاصله,مشتق گیری وکاربردشو بلد باشیم:

میدانیم فرمول فاصله دو نقطه به مختصات: $A=( x_{1} , y_{1})=(1,5) $ و $ B=( x_{2} , y_{2} )=(7,-2) $ برابر است با: $$ d_{AB}= \sqrt{( x_{A} - x_{B} )^{2} + ( y_{A} - y_{B} )^{2}} $$

پس حال فرض کنیم نقطه موردنظر برابر باشد با: $ O=(x,0) $

پس داریم: $$ \begin{align}d_{OA} = \sqrt{ ( x_{O} - x_{A} )^{2} + ( y_{O} - y_{A} )^{2} }&= \sqrt{ (x-1)^{2} + (0-5)^2}\\ & = \sqrt{ (x-1)^{2} +25} \end{align} $$ و $$d_{OB} = \sqrt{ (x-7)^{2} + (0+2)^{2} } = \sqrt{ (x-7)^{2} +4}$$ حال از دو عبارت فوق تفاضل میگیریم: $$D= d_{OA} - d_{OB}= \sqrt{ (x-1)^{2}+25 } - \sqrt{ (x-7)^{2} +4} $$

حال برای آنکه این عبارت ماکزیمم شود ابتدامشتق گرفته سپس با استفاده از کاربرد مشتق , معادله حاصل را مساوی صفر قرار داده, xراپیدامیکنیم:

$$ D'= \frac{x-1}{ \sqrt{ (x-1)^{2} +25} } - \frac{x-7}{ \sqrt{ (x-7)^{2} +4} }=0\\ \Rightarrow \frac{x-1}{ \sqrt{ (x-1)^{2} +25} } = \frac{x-7}{ \sqrt{ (x-7)^{2} +4} } \\ \Rightarrow (x-1) \sqrt{ (x-7)^{2} +4} =(x-7) \sqrt{ (x-1)^{2} +25} \\ \Rightarrow (x-1)^{2} ( (x-7)^{2} +4)= (x-7)^{2} ( (x-1)^{2} +25) \\ \Rightarrow (x-1)^{2} (x-7)^{2} +4 (x-1)^{2} = (x-7)^{2} (x-1)^{2} +25 (x-7)^{2} \\ \Rightarrow 5(x-7)= \mp 2(x-1) $$ $$ \begin{cases}5(x-7)=2(x-1)\rightarrow x=11\\ 5(x-7)=-2(x-1) \rightarrow x= \frac{37}{7} \end{cases} $$

پس گزینه 4صحیح است.

دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
البته چون فاصله مقداری مثبت است میتونستیم تفاضل مجذور فاصله ها رو مینیمم کنیم و اینجوری راحت تر بدست می آمد(دیگه رادیکال نداشتیم)
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
erfanm: میتونی راه حلتو بذاری؟
دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
نه نمیتونم چون اشتباهه اون تفاضل بینشون کار رو خراب کرده.
دارای دیدگاه توسط OXIDE
+1
گذاشتن قدرمطلق در این رابطه لازمه
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط OXIDE

روش دوم حل که به مسله دوم هرون معروف است:

اگر نقاط $A,B$ در یک طرف خط $d$ قرار داشته باشند برای یافتن نقطه ای روی $d$ مانند $P$ که تفاضل فواصل آن از $A,B$ یعنی $|PA-PB|$ ماکزیمم شود ، پاره خط $AB$ را امتداد میدهیم تا خط $d$ را قطع کند. نقطه ی تقاطع همان نقطه موردنظر است که به ازای آن حاصل $|PA-PB|$ برابر طول پاره خط $AB$ خواهد شد.

واما حل: چون دو نقطه $A,B$ در دو طرف خط $y=0$ قرار دارند پس نقطه $B$ را نسبت به $ y=0$ قرینه میکنیم(فرقی نمیکند کدام نقطه) با این کار طول $PB$ تغییری نمیکند. سپس نقطه تلاقی امتداد پاره خط $AB'$ را با خط $y=0$ پیدا میکنیم.: $P=(x,0)$

$x$ یک جواب مسله است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
64 نفر آنلاین
0 عضو و 64 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3678
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687486
...