چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
322 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط فرید

چطوری این تساوی را اثبات کنیم: $$ \left[\frac{[x]}{n}\right]=\left[\frac xn\right] $$ به ازای هر $ n\in\mathbb N $.( که $ [.]$ نماد جزصحیح است)

6 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

تعداد اعداد صحیح کوچکتر یا مساوی $x $ که بر $ n $ بخشپذیر هستند $ \left[\frac xn\right]= $

تعداد اعداد صحیح کوچکتر یا مساوی $[x] $ که بر $ n $ بخشپذیر هستند $ \left[\frac {[x]}n\right]= $

بنابراین باید این دو مقدار برابر باشند.

دارای دیدگاه توسط erfanm
دید خیلی خوب و جالبی بود آفرین عالی بود
خیلی ساده بدون استفاده از روابط پیچیده ریاضی به جواب رسیدی اونم با یک دید خوب
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
ممنون. البته من چون دید آنالیزی رو دوست دارم راه حل شما رو بیشتر پسندیدم.
دارای دیدگاه توسط wahedmohammadi
+1
fardina@
واقعا خیلی جالب حلش کردین؛ من خودم اصلا به همچین چیزی فکرم نمی‌رسید.
+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
ویرایش شده توسط fardina

$ [ \frac{x}{n} ]=k \Longrightarrow k \leq \frac{x}{n} < k+1 $

$ \Longrightarrow kn \leq x < (k+1)n$

يادآوري

$ x \geq n \Longleftrightarrow[x] \geq n$

$kn \leq [x] < (k+1)n$

$k \leq \frac{[x]}{n} < k+1 $

$ [ \frac{[x]}{n} ]=k $

وباتوجه به فرض اوليه

$[ \frac{[x]}{n} ] =[ \frac{x}{n} ] $

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

داریم: $$ \frac{x}{n} =\left[\frac xn\right] +r $$ که در آن $ r $ قسمت اعشاری و کمتر از $1$ است. با ضرب طرفین در $ n $ بدست می آید که: $$ x=\left[\frac xn\right]n +r n$$ که در آن $ r n < n $ است.

باتوجه به اینکه $ \left[\frac xn\right]n $ عددی صحیح است واستفاده از رابطه ی $[x+k] =k+[x]$ داریم:

$$ [x]= \left[\frac xn\right]n+[ r n]$$ پس $$ \frac{[x]}{n}= \left[\frac xn\right]+ \frac{[ r n]}{n} $$ و چون $ r n < n $ پس $ [ r n] < r n < n $یا $ \frac{[ r n]}{n} < 1 $

پس عبارت $ \frac{[ r n]}{n} $قسمت اعشاری عدد $ \frac{[x]}{n} $ و عبارت $\left[\frac xn\right] $ قسمت صحیح آن است پس $ \left[\frac{[x]}{n}\right]=\left[\frac xn\right] $

دارای دیدگاه توسط kazomano
این اثبات خیلی جالب بود.مرسی
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط fardina

$[x]$ رو بر n تقسیم می کنیم داریم $[x]=an+b$ که $ 0 \leq b< n-1 $ پس $[ \frac{[x]}{n} ]=[ \frac{an+b}{n} ]=a+[ \frac{b}{n}]=a $. از طرف دیگر $x=[x]+c$که $0 \leq c< 1$ پس $b+c< n$ بنابراین $[ \frac{x}{n} ]=[ \frac{an+b+c}{n}]=a+[ \frac{b+c}{n} ]=a $.

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط fardina
$ \frac{[x]}{n} \leq \frac{x}{n} < \frac{[x]+1}{n} \leq \frac{[x]}{n} +1 $

در نتیجه $ [ \frac{[x]}{n} ] \leq [ \frac{x}{n} ] < [ \frac{[x]}{n} ]+1 $ تعریف جزء صحیح نتیجه میده $[ \frac{[x]}{n} ]=[ \frac{x}{n} ]$ فکر کنم منظور zh

–1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط zh

داریم

$$ \begin{bmatrix}x \end{bmatrix} \leq x < \begin{bmatrix}x \end{bmatrix}+1 \rightarrow \begin{bmatrix}x \end{bmatrix} /n \leq x/n < \begin{bmatrix}x \end{bmatrix}+1 /n $$

با گرفتن جز صحیح از طرفین داریم:

$$ [[x]/n] \leq [x/n] < [ ([x]+1)/n]$$.

لذا با توجه به تعریف جز صحیح

$$ [[x]/n] = [x/n] $$ .

دارای دیدگاه توسط fardina
+2
چیزایی که نوشتین درسته ولی آخرش چطوری از تعریف جزءصحیح خط آخر رو نتیجه گرفتین؟
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
83 نفر آنلاین
0 عضو و 83 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3552
بازدید دیروز: 7287
بازدید کل: 4705878
...