چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
100 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط meh123456
ویرایش شده توسط fardina

آیا رابطه $\|A\|=\max_{i,j}|a_{ij}|$یک نرم ماتریسی است؟

مرجع: داتا

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

ثابت می کنیم رابطه داده شده یک نرم روی ماتریس های $n\times n$ حقیقی است.

  1. واضح است که $\|A\|\geq 0$
  2. $$\begin{align}\|A\|=0&\iff \max_{i,j}|a_{ij}|=0\\ &\iff \forall i,j :|a_{ij}|=0\\ &\iff \forall i,j:a_{ij}=0\\ & \iff A=0\end{align}$$
  3. اگر $c\in\mathbb R$ یک عدد حقیقی باشد در اینصورت: $$\|cA\|=\max_{i,j}|ca_{ij}|=\max_{i,j}|c||a_{ij}|=|c|\max_{i,j}|a_{ij}|=|c|\|A\|$$
  4. برای هر دو ماتریس $A,B$ داریم: $$\|A+B\|=\max_{i,j}|a_{ij}+b_{ij}|\leq \max_{i,j}|a_{ij}|+\max_{i,j}|b_{ij}|=\|A\|+\|B\|$$

مطالب بالا برای ماتریس های $m\times n$ هم درست است.

برای ماتریس های $n\times n$ توجه کنید که رابطه ذکر شده در $\|AB\|\leq \|A\|\|B\\$ صدق نمی کند. به عنوان مثال قرار دهید $A= \begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix}$ و $B= \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 1& 0\end{bmatrix}$ در اینصورت $AB= \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} $ و لذا $\|AB\|=2$ در حالیکه $\|A\|\|B\|=1\times 1=1$ .

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 398
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709540
...