چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
29,339 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط asal4567
ویرایش شده توسط fardina

فرمول فاصله ی نقطه از خط را اثبات کنید. ممنون.

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید خط $L$ به معادله $ax+by+c=0$ را داشته باشیم ( $a,b\neq 0$ ) و بخواهیم فاصله ی $A(x_0,y_0)$ از خط $L$ یعنی طول پاره خط $AB$را بیابیم. توجه کنید که $AB$ برخط$L$ عمود است.

enter image description here

شیب خط $L$ برابر است با $m=\frac{-a}{b}$ و چون خط $AB$ بر خط $L$ عمود است پس شیب خط $AB$ برابر است با $m'=\frac{-1}{m}=\frac ba$ . اما شیب خط $AB$ را اگر با استفاده از مختصات نقاط $A,B$ بیابیم داریم: $m'=\frac{y_0-y_b}{x_0-x_b}$ . پس باید $\frac{y_0-y_b}{x_0-x_b}=\frac ba $ و لذا $ a(y_0-y_b)-b(x_0-x_b)=0 $ . اگر طرفین این تساوی را به توان دو برسانیم داریم:

$$a^2(y_0-y_b)^2+b^2(x_0-x_b)^2=2ab(x_0-x_b)(y_0-y_b)\tag{*}$$ . حال داریم:

$$\begin{align}(a^2+b^2)((x_0-x_b)^2+(y_0-y_b)^2)&=a^2(x_0-x_b)^2\\&+a^2(y_0-y_b)^2+b^2(x_0-x_b)^2\\&+b^2(y_0-y_b)^2\\ &=^{(*)}a^2(x_0-x_b)^2\\&+2ab(x_0-x_b)(y_0-y_b)\\& +b^2(y_0-y_b)^2\\ &=(a(x_0-x_b)+b(y_0-y_b))^2\end{align}$$

و لذا داریم: $$(x_0-x_b)^2+(y_0-y_b)^2=\frac{(a(x_0-x_b)+b(y_0-y_b))^2}{a^2+b^2}$$

اگر از طرفین جذر بگیریم داریم: $$|AB|=\sqrt{(x_0-x_b)^2+(y_0-y_b)^2}=\frac{|ax_0+by_0-(ax_b+by_b)|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ اما توجه کنید که $B(x_b,y_b)$ در معادله خط $ax+by+c=0$ صدق می کند لذا $ax_b+by_b=-c$ بنابراین تساوی قبل به صورت زیر در می آید:

$$|AB|=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

برای اثبات های بیشتر به اینجا نگاه کنید.

دارای دیدگاه توسط asal4567
+1
@fardina
ممنون بایت پاسخ..
چرا باید خط$AB$بر خط $L$عمود باشد؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@asal4567
چون تعریف فاصله نقطه از خط یعنی کوتاهترین فاصله نقطه از خط. و کوتاهترین فاصله نقطه از خط میشه پاره خط عمود بر آن خط.(چرا؟!)
چون اگه $AB$ عمود نباشد در اینصورت از $A$ بر خط عمود میکنیم که $AH$ ساخته بشه. در اینصورت در مثلث قایم الزاویه $ABH$ ضلع $AB$ وتر است و لذا طبق قضیه فیثاغورث $AB$ از $AH$ بزرگتر است و با تعریف کوتاهترین فاصله در تناقض می شود.
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

یک روش دیگر با استفاده از هندسه تحلیلی پیش دانشگاهی:

در کتاب هندسه تحلیلی پیش دانشگاهی ثابت می شود که فاصله ی نقطه $P$ از خط $L$ با بردار هادی $u$ برابر است با $\frac{|u\times \overrightarrow{P_0P} |}{|u|}$ که در آن $P_0$ یک نقطه دلخواه از خط $L$ است.

حال اگر خط به معادله $ L:ax+by+c=0$ را در نظر بگیریم در اینصورت فاصله نقطه $P(x_0,y_0)$ از خط $L$ با استفاده از فرمول فوق به دست می آوریم. بردار هادی را با استفاده از نقاطی که خط محور طولها و عرضها را قطع کرده به دست می آوریم برابر است با $u=(-\frac ca, \frac cb)$ و نقطه ی دلخواه $P_0$ را نقطه ای میگیریم که خط محور طولها را قطع کرده است $P_0=(-\frac ca, 0)$ . لذا $P_0P=(x_0+\frac ca, y_0)$ . با استفاده از ضرب خارجی داریم: $$u\times P_0P=0i+0j+(-\frac ca y_0-\frac cb x_0-\frac{c^2}{ab})k$$ .

و داریم:$$d=\frac{|u\times P_0P|}{|u|}=\frac{|\frac{c}{ab}(ax_0+by_0+c)|}{\sqrt{\frac{c^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}}}= \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
72 نفر آنلاین
1 عضو و 71 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3592
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4698632
...