به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
116 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط meh123456
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $A$ماتریسی $n \times n$ باشد که متقارن و معین مثبت است ثابت کنید:

$1$-زیر ماتریس های $A$ از هر مرتبه ای متقارن و مثبت است.

$2$-بزرگترین درایه $A$ از لحاظ قدر مطلق روی قطر قرار دارد.

$3$-درایه های قطری $A$ همگی مثبت هستند.

مرجع: کتاب چینی

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
نمایش از نو توسط erfanm

برای $1$ باید زیر ماتریس های اصلی را در نظر بگیریم(در غیر این صورت غلطه)

چون ماتریس متقارنه به وضوح هر زیر ماتریس اصلی هم متقارن خواهد بود فقط معین مثبت بودن را باید ثابت کنیم فرض کنید $ A_{1} $ زیر ماتریسی اصلی از $ A $ باشد که حاصل حذف سطر و ستون های $ i_{1} ,..., i_{t} $ باشد در اینصورت برای اینکه ثابت کنیم معین مثبت است نشان می دهیم به ازای هر $ x $ داریم $ xA_{1} x^{T} $ است. $ x $ را به $ x^{'} $ به صورت زیر گسترش می دهیم که صفر را به $x $ اضافه میکنیم طوری که در ستونهای $ i_{1} ,..., i_{t} $ صفرها قرار گیرند آنگاه داریم:

$xA_{1} x^{T} =x' A x' ^{T} $ و طبق فرض چون خود $A$ معین مثبت است لذا

$ x' A x' ^{T} > 0 $ است لذا حکم ثابت می شود.

برای $3$ کافیست هر بار $ x=(0,..,0, \underbrace{1}_{iام} ,0,..0) $ را در نظر بگیریم چون در این حالت داریم: $ xA x^{T} =a_{ii} > 0$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
44 نفر آنلاین
0 عضو و 44 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2189
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5007841
...