چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
625 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط asal4567
ویرایش شده توسط fardina

اثبات نامساوی های زیر رو میخواستم؟

$$- \ \sqrt{a^2+b^2} \leq a\sin x \pm b\cos x \leq \sqrt{a^2+b^2} $$

$$ \frac{1}{2^n-1} \leq \sin^{2n} x+ \cos^{2n} x \leq 1$$

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

ابتدا برای اثبات $|a\sin x+b\cos x|\leq \sqrt{a^2+b^2}$ فقط کافی است نامساوی زیر را به روش بازگشتی ثابت کنید: $$(a\sin x+b\cos x)^2\leq (a^2+b^2)(\sin ^2 x+\cos^2 x)$$

و در صورتی که به جای $b$ قرار دهید $-b$ داریم $$|a\sin x-b\cos x|\leq \sqrt{a^2+(-b)^2}=\sqrt{a^2+b^2}$$ .

در مورد نامساوی دوم نمیدونم چه سودی داره این نامساوی؟ یا شاید اشتباه نوشتین. ما همواره برای هر $x\in\mathbb R$ داریم $\sin^2x+\cos^2x=1$ لذا $\sin^2 n+\cos^2 n=1$ و لذا $\sin^2n+\cos^2n\leq 1$ و چون همیشه $\frac1{2^n-1}\leq 1=\sin^2n+\cos^2n$ لذا نامساوی دوم واضح است.

دارای دیدگاه توسط asal4567
+1
@fardina
ممنون..
ببخشید نامساوی دوم اشتباه نوشتم ویرایشش کردم ممنون میشم اثباتش کنید
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط OXIDE

برای نامساوی اول از نامساوی کشی-شوارتس میرویم. enter image description here نامساوی دوم هم اشتباه نوشته شده ولی اثباتش (نامساوی اصلی نه این یکی) با استفاده از تعمیم نامساوی حسابی-مربعی انجام میشود.

دارای دیدگاه توسط fardina
ممنون جالب بود.اون موقع که من گفتم اشتباه نوشتن واقعا اشتباه نوشته بودن. الان صورت مساله درسته.
لطفا اینجا رو ببینید http://math.irancircle.com/3038/%D8%A7%D8%AB%D8%A8%D8%A7%D8%AA-%D9%86%D8%A7%D9%85%D8%B3%D8%A7%D9%88%DB%8C%24%24-frac-1-2-n-1-leq-sin-2n-x-cos-2n-x-leq-1%24%24
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
87 نفر آنلاین
1 عضو و 86 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3693
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4698733
...