به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+5 امتیاز
4,692 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام

تفاوت اندازه لبگ و اندازه بورل چیست؟

2 پاسخ

+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina
 
بهترین پاسخ

بیا از اول شروع کنیم. در واقع ما علاقه مندیم که به هر مجموعه $ E\subset\mathbb{R}^n $ یک اندازه یا حجمی رو که معمولا با $ \mu(E) $ نمایش می‌دهیم نسبت بدهیم به طوریکه:

  • برای هر $E\subset \mathbb{R}^n $ داشته باشیم: $0\leq\mu(E)\leq\infty $ .
  • اگر $E_1 $ و $E_2 $ و... تعدادی متناهی یا شمارا مجموعه‌ی مجزا باشند آنگاه: $$\mu(\bigcup_iE_i)=\sum_i\mu(E_i)$$
  • اگر $ E $ و $F $ دو مجموعه‌ی هم‌نهشت باشند، یعنی یکی از آنها با انتقال یا دوران یا بازتابی از مجموعه‌ی دیگر حاصل شده باشد، آنگاه $ \mu(E)=\mu(F) $ .
  • $ \mu([0,1)^n)=1 $ . اما قضیه‌ای که خیلی معروفه و در هر کتاب آنالیز حقیقی میتونید اثباتشو پیدا کنید اینه که:

    قضیه: هیچ تابع $ \mu $ با چهار ویژگی بالا وجود ندارد!

    مراحلی که برای معرفی اندازه لبگ پیموده میشوند به قرار زیر است:

قدم اول:

ابتدا با کلاس خاصی از زیرمجموعه‌های $ \mathbb{R}^n $ که می‌دانیم چطوری آنها را اندازه بگیریم، یعنی بازه‌ها در $\mathbb{R} $ یا اصطلاحا مکعب‌ها در $\mathbb{R}^n $ ، شروع می‌کنیم. در این حالت بیان می‌شود که اندازه آنها برابر حجم آنها است.

شرح قدم اول:

در واقع برای هر مجموعه‌ی به شکل $$ A=[a_1, b_1]\times...\times [a_n,b_n]= \prod_1^n [a_i,b_i] $$ در $\mathbb{R}^n $ حجم این مجموعه برابر با $$ vol(A)=(b_1-a_1)...(b_n-a_n)=\prod_1^n(b_i-a_i) $$ تعریف می‌شود.

قدم دوم:

سپس روشی برای توسعه دادن مفهوم اندازه به همه‌ی زیر مجموعه‌های $ \mathbb{R}^n $ پیدا میکنیم. برای هر $ E\subset\mathbb{R}^n $ یک مقدار نامنفی در اعداد حقیقی توسعه یافته که با $\mu_e(E) $ یا $ \mu^* $ نمایش داده می‌شود نسبت میدهیم. در واقع $\mu^* $ اندازه خارجی نامیده می‌شود. خبر خوب اینه که همه زیرمجموعه‌های $\mathbb{R}^n $ دارای اندازه خارجی یکتا هستند. خبر بد اینه که $\mu^* $ اندازه نیست!

شرح قدم دوم:

در واقع اگر تعریف کنیم: $$ \mu^*(E)=\inf \big\{\Sigma_kvol(A_k):E\subset\bigcup_1^\infty A_k\big\} $$ توجه کنید که $inf $ روی تمام گردایه‌های متناهی یا شمارا از مکعب های $A_k $ گرفته شده است. می‌توان نشان داد که $ \mu^* $ یک اندازه خارجی است، یعنی:

  • $ 0\leq\mu^*(E)\leq\infty $
  • $ \mu^*(\emptyset)=0 $
  • اگر $E\subset F $ آنگاه $ \mu^\star(E) \leq \mu^\star(F) $
  • $\mu^\star(\bigcup_1^\infty A_i)\leq\Sigma_1^\infty\mu^\star(A_i) $

به نکته مهمی که حالا باید توجه بکنید این است که به سادگی می‌توان نشان داد $ \mu^* $ در ویژگی‌های زیر صدق می‌کند:

  • $0\leq\mu^*(E)\leq\infty $ برای هر $ E\subset \mathbb{R}^n $
  • $\mu^\star(E+h)=\mu^\star(E) $ برای هر $E\subset\mathbb{R}^n $ و هر $h\in\mathbb{R}^n $ (هم‌نهشتی)
  • $ \mu^*([0,1)^n)=1 $ . در واقع این تساوی برای هر مکعبی برقرار است.

پس از قضیه بالا نتیجه می‌گیریم که $\mu^* $ امکان ندارد که جمعی شمارا باشد و لذا نی تواند یک اندازه باشد.

قدم سوم:

و در مرحله آخر یک راهی برای محدود کردن توجهمان به کلاسی کوچکتر از مجموعه‌ها، یعنی سیگما جبر لبگ $ \mathcal{L} $ ، محدود میکنیم. و نشان می‌دهیم که اگر $ \mu=\mu^*\vert_\mathcal{L} $ را در نظر بگیریم، یعنی $\mu $ برابر تحدید $\mu^* $ به سیگما جبر لبگ باشد، آنگاه $\mu $ یک اندازه است. این اندازه همان اندازه لبگ روی $ \mathbb{R}^n $ است.

شرح قدم سوم:

تعریف: مجموعه‌ی $A\subset \mathbb{R}^n $ را $\mu^* $ -اندازه‌پذیر گوییم هرگاه به ازای هر $ E\subset\mathbb{R}^n $ داشته باشیم: $$\mu^*(E)=\mu^\star(E\cap A)+\mu^\star(E\cap A^c) $$ .

حال قرار می‌دهیم: $$\mathcal{L}= \big\{E\subset\mathbb{R}^n: E is \mu^*-measurable\big\} $$ در اینصورت می‌توان نشان داد که

$ \mathcal{L} $ یک سیگماجبر است.

این همان سیگماجبر لبگ است. و همینطور داریم:

اگر قرار دهیم $ \mu=\mu^*\vert_\mathcal{L} $ ، یعنی $ \mu $ را تحدید $\mu^* $ به سیگماجبر لبگ $ \mathcal{L} $ در نظر بگیریم، آنگاه $\mu $ یک اندازه کامل است.

پس توجه کن که $ \mu=\mu^*\vert_\mathcal{L} $ نه تنها اندازه است بلکه یک اندازه‌ی کامل است. این اندازه همان اندازه لبگ است. توجه کنید که در کتاب‌های آنالیزی اندازه لبگ را با $ m $ نیز نمایش می‌دهند.


خوب حالا ببینیم اندازه بورل چی بود.

یاد‌آوری می‌کنم که سیگماجبر بورل $ \mathcal{B} $ روی $ \mathbb{R}$ یا $\mathbb{R}^n $ عبارت است از کوچکترین سیگماجبری که شامل تمام زیرمجموعه‌های باز از $\mathbb{R} $ یا $ \mathbb{R}^n $ است. هر اندازه‌ای روی $ \mathbb{R} $ که در نظر میگیریم حتما باید سیگماجبر آن مشخص باشد. اگر این سیگما جبر، سیگما جبر بورل $\mathcal{B} $ باشد آنگاه هر اندازه‌ای روی $\mathbb{R} $ را یک اندازه‌ی بورل می‌نامیم.

مثال1: فرض کنید روی $\mathbb{R} $ با سیگماجبر بورل $ \mathcal{B} $ باشد و اندازه $\delta_0(E)= \begin{cases}1 & 0\in E\\0 & 0\notin E\end{cases} $ را در نظر بگیرید. در اینصورت چون سیگماجبر روی اعداد حقیقی سیگماجبر بورل در نظر گرفته شده است لذا $\delta_0 $ در اینجا یک اندازه بورل است.

مثال2: ما در بالا اندازه لبگ را روی $ \mathbb{R} $ و درحالت کلی $ \mathbb{R}^n $ تعریف کردیم. و توجه داریم که اندازه لبگ را با سیگماجبر لبگ $\mathcal{L} $ در نظر گرفتیم. و ما می‌دانیم که همواره $ \mathcal{B}\subset\mathcal{L} $ ، یعنی سیگماجبر بورل یک زیرمجموعه‌ی سره سیگماجبر لبگ است. بنابراین ما همچنین می‌توانیم یک اندازه جدید $\mu\vert_\mathcal{B} $ را با سیگماجبر بورل $ \mathcal{B} $ در نظر بگیریم.( توجه کنید که $\mu=\mu^*\vert_\mathcal{L} $ ) . چون سیگماجبر $\mu\vert_\mathcal{B} $ سیگماجبر بورل $ \mathcal{B} $ است لذا $ \mu\vert_\mathcal{B} $ یک اندازه بورل است.

توجه کنید که $\mu $ و $\mu\vert_\mathcal{B} $ دو اندازه کاملا متفاوت هستند و همواره $\mu $، یعنی اندازه لبگ، یک اندازه‌ی کامل است در حالیکه $\mu\vert_\mathcal{B} $ یک اندازه‌ی کامل نیست.

در بعضی از کتاب‌ها تنها لفظ اندازه‌ی لبگ استفاده می‌شود و شما باید از متن متوجه بشوید که سیگما جبر بورل مورد نظر است یا سیگماجبر لبگ. و همواره به یاد داشته باشید که $\mathcal{B}\subset\mathcal{L} $ و $ \mathcal{B} \neq \mathcal{L} $ .

دارای دیدگاه توسط asadollah
+2
بسیار عالی بود.
دارای دیدگاه توسط shabnam
+2
خیلی عالی بود. تشکر.
سوال شده شهریور ۲۷, ۱۳۹۴ در دانشگاه توسط بی نام
ویرایش شده شهریور ۲۹, ۱۳۹۴ توسط fardina
+2 امتیاز
تعریف تابع اندازه پذیر کراندار
دارای دیدگاه توسط بی نام
+2
سلام . این مفاهیم ونمی شه یه جور بصورت شکل یا طرحی سادن تر نشان داد که اینقدر محض نباشه .
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@eg224
در واقع ما هم همین کارو کردیم! اگر مرحله اول رو نگاه کنید گفتیم که " با کلاس خاصی از زیرمجموعه‌های $\mathbb R^n$ که می‌دانیم چطوری آنها را اندازه بگیریم" شروع میکنیم که همانا مکعبها هستن. ولی خوب بعضی مجموعه ها رو واقعا درک نمیکنیم!(یعنی منظورم اینه که بعضی وقتها زیرمجموعه های پیچیده ای وجود دارند که درک و شهود ما زیاد نمیتونه بهمون کمک کنه!)
0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط عقیل خلیلاوی

اندازه لبگ

1-اندازه لبگ یه تابع است که دامنه آن نیم حلقه (این نیم حلقه یک مجموعه است که شامل تهی و بازه های نیم باز است) و برد این تابع هم زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی نامنفی است. ضابطه تابع هم به این صورت است که تهی را به صفر میبرد و هر بازه را به طول بازه میبرد.

همچنین این نیم حلقه را میتونید مجموعه شامل حاصل ضرب این نیم بازه ها همراه با تهی در نظر بگیرید در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر میشود یعنی تهی را به صفر میبرد و حاصل ضرب نیم بازه ها را به حاصل ضرب طول ها میبرد.

اندازه برل

۲-فرض کنیم (X, T) یک فضای توپولوژیک باشد، در این صورت سیگما جبر تولید شده توسط توپولوژی T را سیگما جبر برل نامیم و این سیگما جبر را با K نمایش میدهیم. در این صورت به جفت (X, K) فضای اندازه برل ، به اعضای K مجموعه های اندازه پذیر برل نامیم.

نکته ۱: تعریف های معادل برای مجموعه های برل:

الف: مجموعه های برل فضای متریک (X,d) کوچکترین گردایه از زیر مجموعه های X شامل تمام مجموعه های بسته است که تحت اشتراک شمارا و اجتماع شمارای مجزا بسته است.

ب: مجموعه های برل فضای متریک (X,d) کوچکترین گردایه از زیر مجموعه های X شامل تمام مجموعه های باز است که تحت اشتراک شمارا و اجتماع شمارای مجزا بسته است.

نکته ۲: روی یک فضای اندازه پذیر بیشمار تابع اندازه قابل تعریف است که آن را به یک فضای اندازه تبدیل کند. بنابراین روی برل اندازه پذیرها هم میتوان نیز میتوان بیشمار تابع اندازه تعریف کرد.

نکته ۳: تابع اندازه پذیر منحصر به فردی روی برل اندازه پذیرها میتوان تعریف کرد که اندازه هر بازه برابر طول بازه باشد و آن همتن تحدید اندازه لبگ به سیگما جبر برل میباشد.

نکته ۴: فرض کنیم K سیگما جبر برل باشد، یک تابع مانند f از فضای اندازه پذیر (X, K) به فضای توپولوژیک (Y, N) تعریف میکنیم با این شرط که هر عضو N را تحت تابع وارون f به یک عضو K تصویر کند، در این صورت تابع f را، تابع اندازه پذیر برل نامیم.

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
تعریفی که از اندازهٔ لبگ کرده‌اید کامل نیست. برخی از  جمله‌ها نیز نامفهوم هستند. «هم میتوان نیز میتوان» یعنی چه؟
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
47 نفر آنلاین
0 عضو و 47 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 328
بازدید دیروز: 6583
بازدید کل: 5012563
...