چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
105 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط 0arezoo
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $R$یک حوزه صحیح باشدومیدان نباشد .اگر$M$ یک $R$مدول راست باشد که هم تصویری است وهم انژکتیو ثابت کنید$M$برابر صفر است.

مرجع: جزوه دکتر اکبری

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

چون $ M $پروژکتیو(تصویری) است لذا $ R $مدول آزادی مانند $ F $ موجود است که $F=M \coprod K $.فرض کنید که$ M \neq 0 $ باشد( به تناقض می رسیم) پس $ m \neq 0 $در $ M $ موجود است پس $m \in F $ است و چون آزاد است لذا میتوان $ m $ را به صورت $ \sum r_{i} e_{{k}_{i}} $ نوشت. که در آن $ r_{i} $ها عناصری در $ R $ هستند چون $m \neq 0 $ لذا حد اقل یکی از این $ r_{i}$ها مخالف صفر است. بدون کاستن از کلیت مساله فرض کنید $r_{1}\neq 0$ باشد نشان می دهیم هر عنصر مخالف صفر در $ R$ دارای وارون است و از آنجایی که $R$ حوزه صحیح بود لذا میدان می شود و این با فرض مساله در تناقض خواهد بود و حکم ثابت می شود.

فرض کنید $ r \in R $ عنصری مخالف صفر باشد چون $R$ حوزه صحیح است لذا $rr_{1} \neq 0 $است. حال از آنجایی که $ M $ انژکتیو است لذا بخش پذیر است لذا $rr_{1} \mid _{M} m $ یعنی $ m^{'} \in M $(پس $m^{'} \in F $) وجود دارد که $ rr_{1} m^{'}=m$ از آنجایی که $ m^{'} \in F$ داریم $m^{'}= \sum r_{i}^{'} e_{{t}_{i} }$ پس $\sum rr_{1}r_{i}^{'} e_{{t}_{i} }= \sum r_{i} e_{{k}_{i}} $ و از آنجایی که هر عنصر نمایش منحصربفرد دارد لذا یک $ t_{j} $ وجود دارد که $e_{{t}_{j} } =e_{{k}_{1}} $ لذا ضرایب هم برابرند پس $ rr_{1}r_{j}^{'} = r_{1} $ و چون قلمرو صحیح داریم لذا از اینکه $r_{1}(rr_{i}^{'} -1)=0 $ داریم $rr_{i}^{'} =1 $.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
38 نفر آنلاین
0 عضو و 38 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 804
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709946
...