به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
442 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

خطای قاعده سه هشتم سیمپسون را با استفاده از هسته پئانو محاسبه کنید؟

دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
میتونید در مورد هسته پئانو اطلاعات بیشتری بدید؟
دارای دیدگاه توسط
انتقال داده شده توسط AmirHosein
+1

واقعیتش اینه که با تایپ ریاضی این سایت مشکل دارم.اگه فرمول ها رو مث تایپ بنویسیم میشه اینجا کپی پیس کرد؟ هسته پئانو تو فصل انتگرال گیری کتاب استوئر هست.قضیه ای که با اثبات اینکه هسته تغییر علامت نمیده به راحتی خطای فرمول های انتگرال گیری رو به دست میاره.

دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
بله فقط برای فرمولهای ریاضی ابتدا روی دکمه ریاضی (کنار دکمه قرمز رنگ فایل فلش ) کلیک کنید و درون کادر باز شده(به صورت<math>$  $</math> است) فرمول رو کپی کنید.

فکر کنم مشکل شما هم همینه که درون این کادر فرمول رو نمی نویسید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

گام نخست محاسبهٔ هستهٔ Peano است (واژهٔ Peano نام‌خانوادگی یک ریاضی‌دان است). چون چیزی در مورد روش سه‌هشتم سیمپسون مشخص نکرده‌اید، فرض را بر این می‌گیرم که بر روی یک بازهٔ $[a,b]$ دلخواه ولی با یک بخش‌بندی منظورتان است. پس فرمول انتگرال عددی‌تان برابر می‌شود با $$\begin{array}{ll} I_a^b(f) & =\Big(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\Big)\frac{3h}{8}\\ & =\Big(f(a)+3f(a+\tfrac{b-a}{3})+3f(a+2\tfrac{b-a}{3})+f(b)\Big)\frac{3}{8}\frac{b-a}{3} \end{array}$$ در طول این پاسخ تمام ساده‌سازی‌های جزئی را خودتان انجام دهید. بعلاوه ما از نمادگذاری indicator function که احتمالا چیزی شبیه تابع مشخصه یا تابع عضویت در فارسی ترجمه شود استفاده می‌کنیم. تابع $\chi_A(x)$ زمانی که $x\in A$ مقدار یک می‌دهد و در غیر اینصورت مقدار صفر.

درجهٔ دقت این روش (degree of precision/ accuracy) برابر با ۳ است یعنی برای چندجمله‌ای‌های حداکثر از درجهٔ ۳ همیشه دقیق است (درجهٔ دقت دستور سه‌هشتم سیمپسون با درجهٔ دقت دستور سیمپسون معمولی یکسان است - البته به این معنی نیست که دقت‌شان/ خطایشان یکسان است - ). پس هستهٔ Peano برابر است با $$K(t)=\frac{1}{3!}\Big(I_a^b\big(\chi_{[0,+\infty)}\big((x-t)^3\big)\big)-\int_a^b\chi_{[0,+\infty)}\big((x-t)^3\big)dx\Big)$$

برای محاسبهٔ عبارت داخل پرانتز دقت کنید که $$\begin{array}{lll} \chi_{[0,+\infty)}\big((x-t)^3\big)\neq 0 & \Leftrightarrow & (x-t)^3\nless 0\\ & \Leftrightarrow & x-t\geq 0\\ & \Leftrightarrow & x\geq t \end{array}$$

نخست انتگرال دقیق را می‌یابیم $$\begin{array}{ll} \int_a^b\chi_{[0,+\infty)}\big((x-t)^3\big)dx & =\int_{\min\lbrace\max\lbrace a,t\rbrace,b\rbrace}^b(x-t)^3dx\\ & =\left.\tfrac{1}{4}(x-t)^4\right]_{\min\lbrace\max\lbrace a,t\rbrace,b\rbrace}^b\\ & =\left\lbrace\begin{array}{ll} 0 & ; b < t\\ \tfrac{1}{4}(b-t)^4-\tfrac{1}{4}(t-t)^4 & ; a < t \leq b\\ \tfrac{1}{4}(b-t)^4-\tfrac{1}{4}(a-t)^4 & ; t \leq a \end{array}\right. \end{array}$$

اکنون یکی از چهار جمعوند جمع مربوط به انتگرال عددی‌مان $$\chi_{[0,+\infty)}\big((a-t)^3\big)=\left\lbrace\begin{array}{ll} 0 & ; a < t\\ (a-t)^3 & ; t\leq a \end{array}\right.$$

سه جمعوند دیگر نیز به طور مشابه دوضابطه‌‌ای هستند. و در نهایت داریم $$K(t)=\left\lbrace\begin{array}{ll} 0 & ; b<t\\ \tfrac{b-a}{8}(b-t)^3-\big((\tfrac{1}{2}b^2-bt)-\tfrac{1}{4}(b-t)^4 & ; a+2\tfrac{b-a}{3}<t\leq b\\ \tfrac{b-a}{8}\big(3(a+2\tfrac{b-a}{3}-t)^3+(b-t)^3\big)-\tfrac{1}{4}(b-t)^4 & ; a+\tfrac{b-a}{3}<t\leq a+2\tfrac{b-a}{3}\\ \tfrac{b-a}{8}\big(3(a+\tfrac{b-a}{3}-t)^3+3(a+2\tfrac{b-a}{3}-t)^3+(b-t)^3\big) & \\ -\tfrac{1}{4}(b-t)^4 & ; a<t\leq a+\tfrac{b-a}{3}\\ \tfrac{b-a}{8}\big((a-t)^3+3(a+\tfrac{b-a}{3}-t)^3+3(a+2\tfrac{b-a}{3}-t)^3 & \\ +(b-t)^3\big)-\tfrac{1}{4}\big((b-t)^4-(a-t)^4\big) & ; t\leq a \end{array}\right.$$

اکنون برای هر تابع دارای مشتق چهارم پیوسته بر $[a,b]$ مانند $f$ خطای انتگرال عددی‌مان برابر می‌شود با $$\int_a^bf^{(4)}(x)K(x)dx$$

که چون تابع خاصی را در پرسش مشخص نکرده‌اید چیزی بیشتر از این نمی‌توان گفت.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...