به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
56 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط meh123456
ویرایش شده توسط AmirHosein

رابطه $ \sim $ را روی جفت های $A,B$ از ماتریس های حقیقی به صورت $A \sim B \Longleftrightarrow B=P^{-1}AP$ را در نظر بگیرید که در آن ماتریس $P$ نامنفرد است. نشان دهید $ \sim $ یک رابطه هم ارزی است و همه ماتریس های که دارای یک کلاس هم ارزی هستند مقادیر ویژه یکسان دارند.

دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
فقط کافیه تعاریف رو بکار ببرید و چیز خاصی نداره.
خودتون برای حلش چه تلاشهایی رو انجام دادید کجای سوال مشکل دارید؟
دارای دیدگاه توسط meh123456
با عرض سلام .فقط میدونم که رابطه‌ای که بازتابی، تقارنی و ترایایی باشد، رابطهٔ هم‌ارزی و رابطه‌ای که بازتابی، پادتقارنی و ترایایی باشد، رابطهٔ ترتیب خوانده می‌شود. در صورت امکان میشه کامل به این سوال ج بدید. با تشکر

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

بازتابی بودن. باید نشان دهیم $A \sim A $ برای اینکار طبق تعریف باید $P $ ای نامنفرد پیدا شود که داشته باشیم $ A= P^{-1}AP $ که بوضوح ماتریس همانی اینکار را برایمان انجام میدهد لذا کافیه قرار دهیم $P=I $ آنگاه: $A= P^{-1}AP \Rightarrow A \sim A$

برای خاصیت تقارنی باید ثابت کنیم که اگر $A \sim B $ آنگاه داریم $B \sim A $

از اینکه $A \sim B $ داریم که $P $ ای نامنفرد وجود دارد که $ A= P^{-1}BP $ حال اگر طرفین را از راست در $P $ و از چپ در $P^{-1} $ ضرب کنیم داریم $PAP^{-1}=B $ که می توان آن را به صورت $B=(P^{-1})^{-1} AP^{-1} $ نوشت که با قرار دادن $Q=P^{-1} $ آنگاه رابطه به صورت $B=Q^{-1}AQ $ در می آید یعنی طبق تعریف داریم $B \sim A $

تعدی: باید ثابت کنیم که اگر $A \sim B $ و $B \sim C $ آنگاه $A \sim C $

از اینکه $A \sim B $ داریم که $P $ ای نامنفرد وجود دارد که $ A= P^{-1}BP $

از اینکه $B \sim C $ داریم که $Q $ ای نامنفرد وجود دارد که $ B= Q^{-1}CQ $

به جای $ B $ در رابطه ی $ A= P^{-1}BP $ مقدار $ B= Q^{-1}CQ $ را جایگزین میکنیم پس داریم $$A= P^{-1}BP= P^{-1}Q^{-1}CQP= (QP)^{-1}CQP \Rightarrow A \sim C$$ دقت کنید از اینکه $ P$و$ Q $ نامنفرد هستند داریم $QP $هم نامنفرد است.

$\\$ برای اثبات آخرین مطلب فرض کنید $ A,B $ متعلق به یک رده هم ارزی باشند پس $A \sim B $ و داریم که $P $ ای نامنفرد وجود دارد که $ A= P^{-1}BP $ اگر نشان بدهیم چند جمله ای مشخصه این دو ماتریس یکی هستند حکم ثابت می شود. دقت کنید که $p_{A} ( \lambda)=\det(A- \lambda I)$ و $ p_{B} ( \lambda)=\det(B- \lambda I) $.

در تعریف چند جمله ای مشخصه برای $A$ بجای $A$ مقدار $ P^{-1}BP $ را جایگذاری می کنیم و همچنین از اینکه $I=P^{-1}IP $ به جای $ I $ قرار می دهیم:$P^{-1}IP$ $$ p_{A} ( \lambda)=\det(P^{-1}BP- \lambda I)= \det(P^{-1}BP- \lambda P^{-1}IP)=$$ $$\det(P^{-1}BP- P^{-1} \lambda IP)=\det(P^{-1}(B- \lambda I )P)= \det(P^{-1})\det(B- \lambda I )\det(P)=\det(B- \lambda I )=p_{B} ( \lambda)$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...