به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
36 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط meh123456
ویرایش شده توسط erfanm

رابطه $ \sim $ را روی جفت های $A,B$از ماتریس های حقیقی به صورت $A \sim B \Longleftrightarrow B=P^{-1}AP$ را در نظر بگیرید که در آن ماتریس $P$ نامنفرد است.نشان دهید $ \sim $ یک رابطه هم ارزی است و همه ماتریس های که دارای یک کلاس هم ارزی هستند مقادیر ویژه یکسان دارند.

مرجع: نظریه معادلات دکتر خیری
دارای دیدگاه توسط erfanm
فقط کافیه تعاریف رو بکار ببرید و چیز خاصی نداره.
خودتون برای حلش چه تلاشهایی رو انجام دادید کجای سوال مشکل دارید؟
دارای دیدگاه توسط meh123456
+1
با عرض سلام .فقط میدونم که رابطه‌ای که بازتابی، تقارنی و ترایایی باشد، رابطهٔ هم‌ارزی و رابطه‌ای که بازتابی، پادتقارنی و ترایایی باشد، رابطهٔ ترتیب خوانده می‌شود. در صورت امکان میشه کامل به این سوال ج بدید. با تشکر

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

بازتابی بودن. باید نشان دهیم $A \sim A $ برای اینکار طبق تعریف باید $P $ ای نامنفرد پیدا شود که داشته باشیم $ A= P^{-1}AP $ که بوضوح ماتریس همانی اینکار را برایمان انجام میدهد لذا کافیه قرار دهیم $P=I $ آنگاه: $A= P^{-1}AP \Rightarrow A \sim A$

برای خاصیت تقارنی باید ثابت کنیم که اگر $A \sim B $ آنگاه داریم $B \sim A $

از اینکه $A \sim B $ داریم که $P $ ای نامنفرد وجود دارد که $ A= P^{-1}BP $ حال اگر طرفین را از راست در $P $ و از چپ در $P^{-1} $ ضرب کنیم داریم $PAP^{-1}=B $ که می توان آن را به صورت $B=(P^{-1})^{-1} AP^{-1} $ نوشت که با قرار دادن $Q=P^{-1} $ آنگاه رابطه به صورت $B=Q^{-1}AQ $ در می آید یعنی طبق تعریف داریم $B \sim A $

تعدی: باید ثابت کنیم که اگر $A \sim B $ و $B \sim C $ آنگاه $A \sim C $

از اینکه $A \sim B $ داریم که $P $ ای نامنفرد وجود دارد که $ A= P^{-1}BP $

از اینکه $B \sim C $ داریم که $Q $ ای نامنفرد وجود دارد که $ B= Q^{-1}CQ $

به جای $ B $ در رابطه ی $ A= P^{-1}BP $ مقدار $ B= Q^{-1}CQ $ را جایگزین میکنیم پس داریم $$A= P^{-1}BP= P^{-1}Q^{-1}CQP= (QP)^{-1}CQP \Rightarrow A \sim C$$ دقت کنید از اینکه $ P$و$ Q $ نامنفرد هستند داریم $QP $هم نامنفرد است.

$\\$ برای اثبات آخرین مطلب فرض کنید $ A,B $ متعلق به یک رده هم ارزی باشند پس $A \sim B $ و داریم که $P $ ای نامنفرد وجود دارد که $ A= P^{-1}BP $ اگر نشان بدهیم چند جمله ای مشخصه این دو ماتریس یکی هستند حکم ثابت می شود. دقت کنید که $ p_{A} ( \lambda)=det(A- \lambda I) $ و$ p_{B} ( \lambda)=det(B- \lambda I) $

در تعریف چند جمله ای مشخصه برای $ A $ بجای $ A $ مقدار $ P^{-1}BP $ را جایگذاری می کنیم و همچنین از اینکه $I=P^{-1}IP $ به جای $ I $ قرار می دهیم:$P^{-1}IP$ $$ p_{A} ( \lambda)=det(P^{-1}BP- \lambda I)= det(P^{-1}BP- \lambda P^{-1}IP)=$$ $$det(P^{-1}BP- P^{-1} \lambda IP)=det(P^{-1}(B- \lambda I )P)= det(P^{-1})det(B- \lambda I )det(P)=det(B- \lambda I )=p_{B} ( \lambda)$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
56 نفر آنلاین
0 عضو و 56 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3448
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5009100
...