چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
36 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط meh123456
ویرایش شده توسط erfanm

رابطه $ \sim $ را روی جفت های $A,B$از ماتریس های حقیقی به صورت $A \sim B \Longleftrightarrow B=P^{-1}AP$ را در نظر بگیرید که در آن ماتریس $P$ نامنفرد است.نشان دهید $ \sim $ یک رابطه هم ارزی است و همه ماتریس های که دارای یک کلاس هم ارزی هستند مقادیر ویژه یکسان دارند.

مرجع: نظریه معادلات دکتر خیری
دارای دیدگاه توسط erfanm
فقط کافیه تعاریف رو بکار ببرید و چیز خاصی نداره.
خودتون برای حلش چه تلاشهایی رو انجام دادید کجای سوال مشکل دارید؟
دارای دیدگاه توسط meh123456
+1
با عرض سلام .فقط میدونم که رابطه‌ای که بازتابی، تقارنی و ترایایی باشد، رابطهٔ هم‌ارزی و رابطه‌ای که بازتابی، پادتقارنی و ترایایی باشد، رابطهٔ ترتیب خوانده می‌شود. در صورت امکان میشه کامل به این سوال ج بدید. با تشکر

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

بازتابی بودن. باید نشان دهیم $A \sim A $ برای اینکار طبق تعریف باید $P $ ای نامنفرد پیدا شود که داشته باشیم $ A= P^{-1}AP $ که بوضوح ماتریس همانی اینکار را برایمان انجام میدهد لذا کافیه قرار دهیم $P=I $ آنگاه: $A= P^{-1}AP \Rightarrow A \sim A$

برای خاصیت تقارنی باید ثابت کنیم که اگر $A \sim B $ آنگاه داریم $B \sim A $

از اینکه $A \sim B $ داریم که $P $ ای نامنفرد وجود دارد که $ A= P^{-1}BP $ حال اگر طرفین را از راست در $P $ و از چپ در $P^{-1} $ ضرب کنیم داریم $PAP^{-1}=B $ که می توان آن را به صورت $B=(P^{-1})^{-1} AP^{-1} $ نوشت که با قرار دادن $Q=P^{-1} $ آنگاه رابطه به صورت $B=Q^{-1}AQ $ در می آید یعنی طبق تعریف داریم $B \sim A $

تعدی: باید ثابت کنیم که اگر $A \sim B $ و $B \sim C $ آنگاه $A \sim C $

از اینکه $A \sim B $ داریم که $P $ ای نامنفرد وجود دارد که $ A= P^{-1}BP $

از اینکه $B \sim C $ داریم که $Q $ ای نامنفرد وجود دارد که $ B= Q^{-1}CQ $

به جای $ B $ در رابطه ی $ A= P^{-1}BP $ مقدار $ B= Q^{-1}CQ $ را جایگزین میکنیم پس داریم $$A= P^{-1}BP= P^{-1}Q^{-1}CQP= (QP)^{-1}CQP \Rightarrow A \sim C$$ دقت کنید از اینکه $ P$و$ Q $ نامنفرد هستند داریم $QP $هم نامنفرد است.

$\\$ برای اثبات آخرین مطلب فرض کنید $ A,B $ متعلق به یک رده هم ارزی باشند پس $A \sim B $ و داریم که $P $ ای نامنفرد وجود دارد که $ A= P^{-1}BP $ اگر نشان بدهیم چند جمله ای مشخصه این دو ماتریس یکی هستند حکم ثابت می شود. دقت کنید که $ p_{A} ( \lambda)=det(A- \lambda I) $ و$ p_{B} ( \lambda)=det(B- \lambda I) $

در تعریف چند جمله ای مشخصه برای $ A $ بجای $ A $ مقدار $ P^{-1}BP $ را جایگذاری می کنیم و همچنین از اینکه $I=P^{-1}IP $ به جای $ I $ قرار می دهیم:$P^{-1}IP$ $$ p_{A} ( \lambda)=det(P^{-1}BP- \lambda I)= det(P^{-1}BP- \lambda P^{-1}IP)=$$ $$det(P^{-1}BP- P^{-1} \lambda IP)=det(P^{-1}(B- \lambda I )P)= det(P^{-1})det(B- \lambda I )det(P)=det(B- \lambda I )=p_{B} ( \lambda)$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
38 نفر آنلاین
0 عضو و 38 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 807
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709949
...