به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
311 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $ (R,m) $ یک حلقه ی موضعی و نوتری باشد که $dim R = 1 $ است ثابت کنید که گزاره های زیر معادل هستند:

$ i $ حلقه ی $ R $ منظم است.

$ ii$ هر ایده آل سره ی $ R $ برابر توانی از ایده آلماکسیمال $R $ است.

$ iii $ عنصر $ a \in R $ موجود است که هر ایده آل ناصفر $ R $ بصورت $ < a >^{h} $ است که در آن $ h \geq 0 $ است.

$iv $ حلقه ی $ R $ یک حلقه ی $PID $ است.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

اثبات $ i \Rightarrow ii$:

طبق تعریف $ m $ یک ایده آل اصلی است و توسط یک عنصر تولید می شود.حال فرض کنید $ 0 \subset I \subset R $ یک ایده آل دلخواه باشد از آنجایی که تنها ایده آل های اول $ R $ برابر $ 0 $ و $ m $ هستند($dimR=1 $) پس $I $ یک ایده آل $m $ اولیه است .پس $t \in N $ موجود است که $ m^{t} \subseteq I $ است

حال حلقه ی $ \frac{R}{m^{t} } $ را در نظر میگیریم این حلقه نوتری است و هر ایده آل اول آن ماکسیمال نیز است پس این حلقه آرتینی است. و ایده آل ماکسیمال آن هم با توجه به اینکه $ m $ یک ایده آل اصلی است، یک ایده آل اصلی (ایده آل ماکسیمال آن برابر$ \frac{m}{m^{t} } $ است) است. اما طبق قضیه زیر $ \frac{I}{m^{t} } $ توانی از $ \frac{m}{m^{t} } $ است پس $ I$ توانی از $ m $ است.

فرض کنید که $(R,m)$ حلقه ای آرتینی و موضعی باشد به طوریکه ایده آل ماکسیمال آن یک ایده آل اصلی باشد آنگاه هر ایده آل از آن یک توان از ایده آل $m$ است.

اثبات $ ii \Rightarrow iii$:

از آنجایی که $dim_{K} \frac{m}{m^{2} } \geq 1$ است پس $ m^{2} \subset m $ یعنی $a \in m \setminus m^{2} $ موجود است حال از اینکه $ Ra $ یک ایده آل از $ R $ است نتیجه می شود که توانی از $ m $ است فرض کنید $Ra=m^{n} $ اما از آنجایی که $a \notin m^{2} $ پس باید $ n=1 $ باشد پس $m=Ra $ اما از آنجایی که هر ایده آل از $ R$ به صورت توانی از $m $ است و $m=Ra $ پس هر ایده آل به صو رت $ R a^{h} $ است.

اثبات $ iii \Rightarrow iv$:

از آنجایی که هر ایده آل به صو رت $ R a^{h} $ است. پس هر ایده آل یک ایده آل اصلی است یعنی حلقه ی $R$ یک $ PID $ است.

اثبات $ iv \Rightarrow i$:

میدانیم $dim _{K} \frac{m}{ m^{2} } $ برابر است با تعداد مولد مینیمال $ m $ که با توجه به اینکه حلقه $PID $ است لذا $ m= < a > $ یعنی $ dim _{K} \frac{m}{ m^{2} } =1 $ است. اما طبق فرض $ dim R=1 $ پس $ dim _{K} \frac{m}{ m^{2} } =dim R $ یعنی حلقه منظم موضعی است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...