چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
138 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط کیوان

فرض کنید $ R $ یک دامنه ی صحیح باشد در اینصورت

$ R$ یک حلقه ی $ UFD $ است اگر وتنها اگر هر ایده آل اول $p $ که $ht \ p \leq 1 $ یک ایده آل اصلی باشد.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

اولا دقت فرمایید کهدر قلمرو(حوزه) صحیح $(0)$ یک ایده آل اول است لذا برای هر ایده آل اول مخالف صفر مانند $P $داریم $ ht(P) \geq 1 $

فرض کنید $ R $ یک $ UFD $ باشد نشان میدهیم که هر ایده آل اول با هایت کمتر مساوی $1$ یک ایده آل اصلی است. اولا طبق نکته بالا اگر $ ht(P)=0$ آنگاه $P=(0) $ پس در این حالت حکم برقرار است پس فرض کنید که $ht(P)=1 $ یعنی $P \neq (0) $ پس $x \in P $ناصفررا در نظر میگیریم پس می توان آن را به طور منحصربفردی به صورت حاصلضربی از عناصر تجزیه ناپذیر، تجزیه کرد فرض کنید $x= x_{1} x_{2} ... x_{n} $ از آنجایی که $ x=x_{1} x_{2} ... x_{n} \in P $ و $P $ اول است لذا یک $ 1 \leq i \leq n $ وجود دارد که $x_{i} \in P $ است اما $ (x_{i}) $ یک ایده ال اول است و از آنجایی که مخالف صفر است لذا $ ht((x_{i}))=1$ و $(x_{i}) \subseteq P $ پس $P=(x_{i}) $ و حکم ثابت شد.

حال برعکس: از قضیه زیر استفاده می کنیم:

$R$ یک حلقه $ UFD $ است اگروتنها اگر ایده آل تولید شده هر عنصر تجزیه ناپذیر ، یک ایده آل اول باشد.

پس برای اثبات فرض میکنیم که $ x$ یک عنصر تجزیه ناپذیر باشد و نشان میدهیم که $(x) $ یک ایده آل اول است. ایده آل اول مینیمال $P $ را در نظر میگیریم پس طبق قضیه زیر و نکته بالا داریم $ ht(P)=1 $

قضیه:فرض کنید $ R $ حلقه نوتری و $ x \in R $ باشد آنگاه اگر $P $ ایده آل اول مینیمال $(x) $ باشد آنگاه $ ht(P)=0 $ یا $ ht(P)=1 $

پس طبق فرض سوال $P $ یک ایده آل اصلی است فرض کنید که $ P=(y) $ پس $ (x) \subseteq (y) $ و از اینکه $x \in (y) $ داریم وجود دارد $z \in R $ که $x=zy $ است اما $ x $ تجزیه ناپذیر است پس باید $z $ عنصری یکه باشد پس $P=(x) $ و حکم ثابت شد

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
57 نفر آنلاین
0 عضو و 57 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1785
بازدید دیروز: 7287
بازدید کل: 4704112
...