به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
173 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

نشان دهید برای تمام اعداد صحیح $n\geq m\geq 1 $ عبارت: $$\frac{gcd(m,n)}{n}{n\choose{m}} $$ یک عدد صحیح است.( منظور از $ gcd(a,b) $ بزرگترین مقسوم علیه مشترک $a $ و $b $ است.)

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

یک روش دیگه:

بنابر آنچه erfanmدر پاسخش نوشته داریم: $$ {n\choose {m}} =\frac nm{n-1\choose m-1}$$ و اعدادصحیح $a $ و $ b $ وجود دارند به طوریکه $$ gcd(n, m)=an+bm $$ بنابراین: $$\frac{gcd(m,n)}{n}{n\choose{m}}=\frac{an+bm}{n}{n\choose m}=a{n\choose m}+b{n-1\choose m-1} $$ و چون تمام مقادیر سمت راست اعداد صحیح هستند لذا مقدار مور نظر هم عدد صحیح هستند.

دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
+1
خلاصه, صریح  و زیبا عالی بود !
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط fardina

میدانیم $\binom{n}{m} $ به ازای هر $ m,n $ همواره عدد صحیحی است. داریم: $$\begin{align} \binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}& = \frac{n(n-1)!}{m(m-1)!((n-1)-(m-1))!} \\ &= \frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1} \end{align} $$

اگر قرار دهیم $ n=gcd(m,n)n' $ و$ m=gcd(m,n)m' $ عبارت بالا بصورت زیر در می آید: $$ \binom{n}{m} = \frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1} = \frac{n'}{m'} \binom{n-1}{m-1}$$ و چون $\binom{n}{m} $ عددی صحیح است لذا باید $ m' $ عبارت $ \binom{n-1}{m-1} $ را عاد کند یعنی در واقع داریم: $$ \binom{n}{m} =n'K$$ که در آن $ K$ عددی صحیح و برابر $ \frac{ \binom{n-1}{m-1} }{m'} $ است.

حال به اثبات حکم مساله بپردازیم داریم: $$\frac{gcd(m,n)}{n}{n\choose{m}} =\frac{gcd(m,n)}{n}n'K= \frac{n}{n} K=K$$لذا عبارت داده شده یک عدد صحیح بوده و مقدار آن هم برابر$ \frac{ \binom{n-1}{m-1} }{m'} $است.

برای اثبات صحیح بودن $\binom{n}{m} $ چندین روش مختلف وجود داره یکیش توجه به اینکه $\binom{n}{m} $ برابر تعداد حالت های انتخاب $ m$ شی از میان $ n $ شی است. یا با استقرا و استفاده از قاعده پاسکال هم میتوان ثابت کرد که این عبارت یک عدد صحیح است.

دارای دیدگاه توسط fardina
خیلی جالب بود.مرسی
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
35 نفر آنلاین
0 عضو و 35 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 752
بازدید دیروز: 6156
بازدید کل: 5031141
...