چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
169 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fardina
برچسب گذاری دوباره توسط admin

فرض کنید $ f$ یک تابع پیوسته باشد به طوریکه برای هر $ x $ داشته باشیم $ f(2x^2-1)=2xf(x) $ . نشان دهید که $ f(x)=0 $ برای هر $ -1\leq x\leq 1 $ .

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط fardina
 
بهترین پاسخ

اگر $ 0 < x < \frac{1}{2} $ باشد آنگاه $ -1< u= (2x^{2} -1) <- \frac{1}{2} $با توجه به رابطه یعنی $f(2x^{2} -1)=2xf(x) $ و مثبت بودن $ x $ داریم $ f(x)$ با $ f(2x^{2} -1) $ هم علامت است. حال برای $ -1< x < - \frac{1}{2} $ داریم $ - \frac{1}{2} < u= (2x^{2} -1) < 1 $و با توجه به منفی بودن$ x $ داریم $ f(x)$ با $ f(2x^{2} -1) $مختلف العلامت است. و لذا باید برای بازه ی$ 0 < x < \frac{1}{2} $ مقدار $ f(x)$ برابر صفر باشد.

حال یک بار در رابطه اصلی $ x $ و یک بار $- x $ قرار می دهیم و با توجه به زوج بودن $2x^{2} -1 $ و مقایسه دو رابطه داریم $ f(-x) =- f(x)$ یعنی علامت در بازه $ - \frac{1}{2} < x < 0 $ مخالف علامت در بازه $ 0 < x < \frac{1}{2} $ است ولی در این بازه تابع صفر بود لذا در بازه ی $ - \frac{1}{2} < x < 0 $ نیز تابع صفر است بطور مشابه در کل بازه مقدار تابع صفر است.

دارای دیدگاه توسط jafar
+1
این سواله قشنگی بود انصافا.
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط jafar

از آنجایی که $ -1 \leq x \leq 1 $ پس به راحتی می توان نشان داد که
$$-1 \leq 2 x^{2}-1 \leq 1 $$

لذا می توان در معادله بجای $ x $ عبارت $ 2 x^{2}-1 $ را قرارداد و بلعکس، به عبارت دیگر $$ x \Longleftrightarrow 2 x^{2}-1$$

لذا داریم $$f(x) = 2(2 x^{2}-1) f(2 x^{2}-1) = 4 x^{2}f(2 x^{2}-1)-2f(2 x^{2}-1) $$

حال دوباره از معادله اولیه استفاده کرده و داریم $$ f(x) = 4 x^{2}[2xf(x)] - 2 [2xf(x)] $$ $$ \Rightarrow f(x) = 8 x^{3}f(x)-4xf(x) $$

یعنی $$f(x)[8 x^{3}-4x-1]=0 $$

پس تابع $f $ در همه جا بجز احتمالا در سه نقطه برابر صفر است . اما از آنجا که $ f $ پیوسته است پس طبق قضیه ای ابتدایی از آنالیز ریاضی باید تابع در آن سه نقطه هم صفر شود . پس برای $ -1 \leq x \leq 1 $ تابع برابر صفر می شود.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
64 نفر آنلاین
0 عضو و 64 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2449
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673908
...