چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
57 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط زهرا م
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید$n \in N$

1)نشان دهید که$(b ^{n}) $ در R یک ایده آل $(a,b)$ - اولیه است.

2)نشان دهید که $0=(a) \cap(b ^{n}) $ یک تجزیه اولیه مینیمال $0$ در $R$ است.

3)نشان دهید که به ازای هر $0 \neq \lambda \in k $ ایده آل $(a+ \lambda b ^{n}) $ نیز $(a,b)$-اولیه است.

4)نشان دهید که $0=(a) \cap (a+ \lambda b ^{n} )$ .

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

حل 1)

$ ( b^{n}) $ را در $ R $ گفته پس به صورت $ \frac{ ( b^{n})+(a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} = \frac{ ( b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} $ است. باید ثابت کنیم در $ R $ یک ایده آل $(a,b) $ اولیه یعنی $ \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)} $ اولیه است. و این واضح است چون $ \sqrt{ \frac{ ( b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} } = \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)} $ و $ \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)} $ ایده آل ماکسیمال و اول حلقه $R $ است.

حل 2)

$ ( b^{n}) $ در $ R $برابر است با $ \frac{ ( b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} $

$ (a) $ در $ R $برابر است با $ \frac{ (a,a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} = \frac{(a)}{(a ^{2},ab)} $ و چون $ \frac{(a)}{(a ^{2},ab)}$ یک ایده آل اول است لذا یک ایده آل $ (a)$ اولیه است

هر عضو غیر صفر در $ \frac{(a)}{(a ^{2},ab)}$ به صورت ترکیبی از $ $ است که در آن $ $ است. که چنین عنصری در $ \frac{ ( b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} $ نیست. پس اشتراک دو ایده آل داده شده برابر صفر است پس کافیه نشان دهیم که $ ( b^{n}) $و$ (a) $ هردو اولیه هستند و هیچ کدام قابل حذف نیستند.(اولیه بودن بحث شد) و اگر $( b^{n}) $ حذف شود آنگاه $(a) \neq 0 $ چون $ 0 \neq a \in (a) $ عنصر مخالف صفر در $(a) $ است و اگر $ (a) $ را حذف کنیم از آنجایی که $b^{n} \notin (a ^{2},ab) $ پس این عنصر در $ ( b^{n}) $ مخالف صفر است.

حل 3)

$ ( a+ \lambda b^{n}) $ را در $ R $ گفته پس به صورت $ \frac{ ( a+ \lambda b^{n})+(a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} = \frac{ ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} $ است. باید ثابت کنیم در $ R $ یک ایده آل $(a,b) $ اولیه یعنی $ \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)} $ اولیه است. و این واضح است چون $ \sqrt{ \frac{ ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} } = \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)} $ و $ \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)} $ ایده آل ماکسیمال و اول حلقه $R $ است.

اثبات $ \sqrt{ \frac{ ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)}{(a ^{2},ab)} } = \frac{(a,b) }{(a ^{2},ab)} $ اولا واضح است که $( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab) \subseteq (a,b) $ پس $ \sqrt{( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)} \subseteq \sqrt{(a,b) } =(a,b)$ کافیه نشان دهیم که $(a,b) \subseteq \sqrt{( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)} $ یعنی توانی از $a $ و توانی از $b $ در $( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)$ قرار دارند$ a ^{2} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)$

همچنین $ a+ \lambda b^{n} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)$ پس $(a+ \lambda b^{n})^{2}=a ^{2}+2 a \lambda b^{n}+ \lambda^{2} b^{2n} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab)$ واز آنجایی که $ a ^{2}+2 a \lambda b^{n} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab) $ پس باید $ \lambda^{2} b^{2n} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab) $ و چون$0 \neq \lambda \in k $ پس وارون پذیر است پس $ b^{2n} \in ( a+ \lambda b^{n},a ^{2},ab) $

حل 4) به طور مشابه 2 ثابت می شود.

دارای دیدگاه توسط yasaman
نمایش از نو توسط admin
+1
بی نهایت سپاسگذارم
دارای دیدگاه توسط erfanm
خواهش میکنم موفق باشید.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
36 نفر آنلاین
0 عضو و 36 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 790
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709932
...