چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
43 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط javadhadadi
ویرایش شده توسط erfanm

مخروط$z^2=x^2+y^2$وصفحه ی$z=1+x+y$یکدیگر رادرمقطع مخروطی $c$قطع میکنند.روی$c$نقاطی رابیابیدکه نزدیک ترین ودورترین به مبدا باشند.

با روش ضرایب لاگرانژ با دوقید

مرجع: توماس

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

فاصله ی نقطه دلخواه $(x,y,z) $ در فضا از رابطه ی $ \sqrt{ x^{2} +y^{2} + z^{2} } $ بدست می آید که نقاط مینیمم یا ماکسیمم آن با ماکسیمم یا مینیمم $ x^{2} +y^{2} + z^{2} $ یکی است لذا ما تابع $f(x,y,z)=x^{2} +y^{2} + z^{2} $ را در نظر میگیریم و همراه دو قید

$$z^2=x^2+y^2 \Rightarrow g(x,y,z)=x^2+y^2- z^2=0 $$ و $$z=1+x+y \Rightarrow h(x,y,z)=1+x+y-z=0 $$ مساله را حل میکنیم. $$ \begin{cases}2x= \lambda 2x+ \mu \\2y= \lambda 2y+ \mu \\2z=- \lambda 2z- \mu \\x^2+y^2- z^2=0\\1+x+y-z=0\\\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2x(1- \lambda )- \mu=0 \\2y(1- \lambda )- \mu=0 \\2z(1+ \lambda )+ \mu=0 \\x^2+y^2- z^2=0\\1+x+y-z=0\\\end{cases}$$ از مقایسه دو رابطه اول در صورتی که $ \lambda \neq 1 $ باشد داریم $x=y$ و با جایگذاری در رابطه ی چهارم داریم: $x^2+y^2- z^2=0 \Rightarrow2 x^2- z^2=0 \Rightarrow z= \underline{+} \sqrt{2}x $ که با جایگذاری در معادله ی آخر معادله ی $2 x^{2} +4x+1=0 $ بدست می آید که کافیه این معادله رو با روش دلتا حل کنید وجواب بدست می آید.

اما اگر $\lambda = 1 $ با جایگذاری در معادله اول داریم $\mu=0 $ و در معادله سوم $4z=0=0$ پس $ z=0 $ طبق معادله چهارم $x^2+y^2-0=0 $ و این معادله زمانی امکان پذیر است که $x=y=0$ اما این مقادیر در معادله پنجم صدق نمیکنند لذا قابل قبول نیست.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
54 نفر آنلاین
0 عضو و 54 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3308
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712449
...