به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
49 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

مخروط$z^2=x^2+y^2$وصفحه ی$z=1+x+y$یکدیگر رادرمقطع مخروطی $c$قطع میکنند.روی$c$نقاطی رابیابیدکه نزدیک ترین ودورترین به مبدا باشند.

با روش ضرایب لاگرانژ با دوقید

مرجع: توماس

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

فاصله ی نقطه دلخواه $(x,y,z) $ در فضا از رابطه ی $ \sqrt{ x^{2} +y^{2} + z^{2} } $ بدست می آید که نقاط مینیمم یا ماکسیمم آن با ماکسیمم یا مینیمم $ x^{2} +y^{2} + z^{2} $ یکی است لذا ما تابع $f(x,y,z)=x^{2} +y^{2} + z^{2} $ را در نظر میگیریم و همراه دو قید

$$z^2=x^2+y^2 \Rightarrow g(x,y,z)=x^2+y^2- z^2=0 $$ و $$z=1+x+y \Rightarrow h(x,y,z)=1+x+y-z=0 $$ مساله را حل میکنیم. $$ \begin{cases}2x= \lambda 2x+ \mu \\2y= \lambda 2y+ \mu \\2z=- \lambda 2z- \mu \\x^2+y^2- z^2=0\\1+x+y-z=0\\\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2x(1- \lambda )- \mu=0 \\2y(1- \lambda )- \mu=0 \\2z(1+ \lambda )+ \mu=0 \\x^2+y^2- z^2=0\\1+x+y-z=0\\\end{cases}$$ از مقایسه دو رابطه اول در صورتی که $ \lambda \neq 1 $ باشد داریم $x=y$ و با جایگذاری در رابطه ی چهارم داریم: $x^2+y^2- z^2=0 \Rightarrow2 x^2- z^2=0 \Rightarrow z= \underline{+} \sqrt{2}x $ که با جایگذاری در معادله ی آخر معادله ی $2 x^{2} +4x+1=0 $ بدست می آید که کافیه این معادله رو با روش دلتا حل کنید وجواب بدست می آید.

اما اگر $\lambda = 1 $ با جایگذاری در معادله اول داریم $\mu=0 $ و در معادله سوم $4z=0=0$ پس $ z=0 $ طبق معادله چهارم $x^2+y^2-0=0 $ و این معادله زمانی امکان پذیر است که $x=y=0$ اما این مقادیر در معادله پنجم صدق نمیکنند لذا قابل قبول نیست.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...