چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
51 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط asal4567
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

اثبات کنید که.. اگر$p$یکی از عوامل اول حاصلضرب$n!$ باشد تعداد عوامل اول$p$ (بزرگترین توان$p$)در این حاصلضرب برابر است با:

$$[ \frac{n}{p} ]+[ \frac{n}{p^2} ]+[ \frac{n}{p^3} ]+...+0$$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

مضارب $p$ در $n!$ به صورت زیر هستند: $$p,2p,3p,...,t_1p\quad , t_1p\leq n,\ (t_1+1)p> n$$

و $t_1\in\mathbb N$ لذا $\frac np-1< t_1\leq \frac np$ بنابراین $t_1=[\frac np]$

حال مضارب $p^2$ را حساب کنیم: $$p^2,2p^2,3p^2,...,t_2p^2\quad, t_2p^2\leq n,(t_2+1)p^n> n$$ بنابراین مانند حالت قبل داریم $t_2=[\frac n{p^2}]$ و همچنین مضارب $p^3$و $p^4$و... را تا جایی حساب می کنیم که داشته باشیم $p^k\leq n$ ولی $p^{k+1}> n$ . بنابراین بزرگترین توانی از $p$ که $n!$ را می شمارد عبارت است از: $$\alpha=[\frac np]+[\frac n{p^2}]+...+[\frac n{p^k}]=[\frac np]+[\frac n{p^2}]+...+[\frac n{p^k}]+...$$

یعنی $\alpha\in\mathbb N$ به طوریکه $p^\alpha| n!$ اما $\require{cancel}p^{\alpha+1}\cancel{|}n!$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
60 نفر آنلاین
0 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3596
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687404
...