به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
51 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط asal4567
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

اثبات کنید که.. اگر$p$یکی از عوامل اول حاصلضرب$n!$ باشد تعداد عوامل اول$p$ (بزرگترین توان$p$)در این حاصلضرب برابر است با:

$$[ \frac{n}{p} ]+[ \frac{n}{p^2} ]+[ \frac{n}{p^3} ]+...+0$$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

مضارب $p$ در $n!$ به صورت زیر هستند: $$p,2p,3p,...,t_1p\quad , t_1p\leq n,\ (t_1+1)p> n$$

و $t_1\in\mathbb N$ لذا $\frac np-1< t_1\leq \frac np$ بنابراین $t_1=[\frac np]$

حال مضارب $p^2$ را حساب کنیم: $$p^2,2p^2,3p^2,...,t_2p^2\quad, t_2p^2\leq n,(t_2+1)p^n> n$$ بنابراین مانند حالت قبل داریم $t_2=[\frac n{p^2}]$ و همچنین مضارب $p^3$و $p^4$و... را تا جایی حساب می کنیم که داشته باشیم $p^k\leq n$ ولی $p^{k+1}> n$ . بنابراین بزرگترین توانی از $p$ که $n!$ را می شمارد عبارت است از: $$\alpha=[\frac np]+[\frac n{p^2}]+...+[\frac n{p^k}]=[\frac np]+[\frac n{p^2}]+...+[\frac n{p^k}]+...$$

یعنی $\alpha\in\mathbb N$ به طوریکه $p^\alpha| n!$ اما $\require{cancel}p^{\alpha+1}\cancel{|}n!$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
42 نفر آنلاین
0 عضو و 42 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 947
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5006599
...