چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
137 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط zahra habibi
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $(X, \| . \|_1 )$ و $(Y, \| . \| _2)$ دو فضای باناخ باشند.نشان دهید فضای حاصلضربی $(X \times Y, \| . \| )$ یک فضای باناخ است.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

فرض کنید نرم $\|.\|:X\times Y\to \mathbb R^{\geq 0}$ را به صورت $\|(x,y)\|=\max\{\|x\|_1,\|y\|_2\}$ تعریف کنیم. در اینصورت $\|.\|$ یک نرم روی $X\times Y$ است (چرا؟ خیلی ساده است)

حال باید نشان دهیم این نرم کامل است. یعنی هر دنباله کوشی همگرا است.

فرض کنید $(x_n,y_n)$ یک دنباله کوشی در $(X\times Y,\|.\|)$ باشد در اینصورت به ازای هر $\epsilon> 0$ یک $N\in\mathbb N$ هست که برای $m,n\geq N$ داریم $\|(x_m,y_m)-(x_n,y_n)\|\leq \epsilon$

اما چون

$\|(x_m,y_m)-(x_n,y_n)\|=\|(x_m-x_n,y_m-y_n)\|=\max\{\|x_m-x_n\|_1,\|y_m-y_n\|_2\}\leq\epsilon$ و $\|x_m-x_n\|_1,\|y_m-y_n\|_2\leq\max\{\|x_m-x_n\|_1,\|y_m-y_n\|_2\}\leq\epsilon $

بنابراین هم $x_n$ و هم $y_n$ دنباله هایی کوشی در $(X,\|.\|_1)$ و $(Y,\|.\|_2)$ هستند و چون این فضاها طبق تعریف باناخ هستند پس $x_n$ و $y_n$ همگرا هستند یعنی $x_n\to x$ و $y_n\to y$ .

نشان می هیم که $(x_n,y_n)\to (x,y)$:

فرض $\epsilon> 0$ دلخواه باشد چون $x_n\to x, y_n\to y$ پس $N$ ی هست که برای $n\geq N$ داریم $\|x_n-x\|_1\leq\epsilon$ و $\|y_n-y\|_2\leq\epsilon$

در اینصورت : $$\|(x_n,y_n)-(x,y_\|=\|(x_n-x,y_n-y)\|=\max\{\|x_n-x\|_1,\|y_n-y\|\}\leq\epsilon$$

و حکم ثابت است.

لازم به ذکر است که می توان روی $X\times Y$ نرمهای دیگری هم در نظر گرفت. به عنوان مثال $\|(x,y)\|=\|x\|_1+\|y\|_2$ که می توان نشان داد با نرم بالا هم ارز است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
60 نفر آنلاین
0 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 396
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709538
...