چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
71 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط رها
ویرایش شده توسط erfanm

$L(X,Y)$ باناخ است $ \Longleftrightarrow $ $Y$ باناخ باشد.

که $L(X,Y)$ توابع کراندار و پیوسته از $X \longrightarrow Y$ می باشد

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

فرض کنید $Y$ باناخ باشد. نشان می دهیم که $L(X,Y)$ هم باناخ است.

توجه کنید که چون $(X,\|.\|),(Y,\|.\|)$ فضاهای نرمدار هستند پس $L(X,Y)$ با نرم $\|T\|+\sup\{\|Tx\|:\|x\|=1\}$ به یک فضای نرمدار تبدیل می شود. ما نشان می دهیم که این نرم کامل است.

توجه کنید که می توان نشان داد که $$\sup\{\|Tx\|:\|x\|=1\}=\sup\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}:x\neq 0\}=\inf\{C:\|Tx\|\leq C\|x\|,\forall x\}$$

فرض کنید $\{T_n\}$ یک دنباله کوشی در $L(X,Y)$ باشد یعنی به ازای هر $\epsilon >0$ یک $N$ی یافت می شود که برای $m,n\geq N$ داریم $\|T_m-T_n\|< \epsilon$. اگر $x\in X$ در اینصورت $\{T_n x\}$ یک دنباله ی کوشی در $Y$ است زیرا به ازای هر $\epsilon> 0$ اگر $N$ را همان $N$ در تعریف کوشی بودن دنباله $\{T_n\}$ بگیریم برای $n\geq N$ داریم: $$\|T_mx-T_nx\|\leq\|t_m-T_n\|\|x\|< \epsilon\|x\|$$

چون $\{T_n x\}$ کوشی است و در $Y$ قرار دارد و $Y$ کامل است لذا همگراست. یعنی $y\in Y$ موجود است به طوریکه $T_n x\to y$ . نگاشت $T:X\to Y$ را به صورت $Tx=\lim_{n\to\infty}T_nx$ تعریف می کنیم.

نشان می دهیم که $\{T_n\}$ به سمت $T$ در $L(X,Y)$ همگراست.

برای این کار باید ابتدا نشان دهیم که $T\in L(X,Y)$ یعنی $T$ خطی و کراندار است است.ولی خطی بودن هم واضح است زیرا $T_n$ ها خظی هستند. در واقع $T(\alpha x)=\lim_n T_n(\alpha x)=\lim_n \alpha T_n x=\alpha\lim_nT_n x=\alpha Tx$ و به همین ترتیب نشان دهید $T(x_1+x_2)=T(x_1)+T(x_2)$

حال باید نشان دهیم که $T$ کراندار است. به ازای هر $\epsilon> 0$ یک $N$ ی هست که برای $m,n\geq N$ داریم $\|T_m-T_n\|< \epsilon$

بنابراین برای $m\geq N$ داریم: $$\|T_m\|\leq\|T_N\|+\epsilon$$

و لذا $$\|Tx\|=\lim_n\|T_mx\|\leq\lim\|T_m\|\|x\|\leq(\|T_N\|+\epsilon)\|x\|$$ و این یعنی $T$ کراندار است.

حالا باید ثابت کنیم $T_n\to T$ در $L(X,Y)$: برای هر$\epsilon> 0$ و $x\in X$ داریم $n\geq N\Rightarrow \\T_nx-Tx\|=\lim_{m\to\infty}\|T_nx-T_mx\|\leq\lim_{m\to\infty}\|T_n-T_m\|\|x\|< \epsilon\|x\|$

و لذا $n\geq N$ داریم $$ \|T_n-T\|=\sup\{\|(T_n-T)x\|:\|x\|=1\}\leq\epsilon$$

و این یعنی $T_n\to T$ و لذا حکم ثابت است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
58 نفر آنلاین
0 عضو و 58 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 425
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709567
...