چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
73 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط هستی
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $M$ یک$R$-مدول باشد.در این صورت ثابت کنید $Hom_{R} (R,M) \cong_{R} M$.

مرجع: قضیه 9 صفحه ی 57 کتابنظریه مدولهای کتاب سیامک یاسمی

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

همانطور که میدانید $Hom_{R} (R,M) \cong_{R} M$ یک $R $ مدول چپ است کافیه یک یکریختی بین $Hom_{R} (R,M) \cong_{R} M$ و $ M $ را تعریف کنیم.

تعریف میکنیم $ \theta : Hom_{R} (R,M) \rightarrow M $ که $ \theta ( \varphi )= \varphi (1) $ نشان میدهیم یک یکریختی است.

بوضوح خوش تعریف است پس یک به یکی را نشان می دهیم: فرض کنید $\theta ( \varphi _{1} )=\theta ( \varphi _{2} ) $ یعنی $ \varphi _{1}(1)= \varphi _{2}(1) $ نشان میدهیم $ \varphi _{1}=\varphi _{2}$ یعنی اثر این دو روی هر عنصر دلخواه از دامنه یکی است فرض کنید $r \in R $ عنصری دلخواه باشد چون $ \varphi _{1} $ یک $ R $ همریختی است(اندیس $ Hom(R,M) $ برابر $ R $ است) پس میتوان نوشت $\varphi _{1}(r)=\varphi _{1}(r.1) =r\varphi _{1}(1) $ و بطور مشابه برای $\varphi _{2} $ هم می توان نوشت $\varphi _{2}(r)=\varphi _{2}(r.1) =r\varphi _{2}(1) $ پس اثرشون روی هر عنصر دلخواه یکی است یعنی این دو یکی هستند.

پوشایی:

فرض کنید $m \in M $ عنصر دلخواهی باشد تعریف میکنیم $ \varphi :R \rightarrow M $ که $ \varphi (1)=m $ پس $ \varphi (r)= \varphi (r.1)= r\varphi (1)= rm$ به سادگی میتوان نشان داد که یک $R $ همریختی است پس $ \varphi \in Hom_{R} (R,M) $ و $$ \theta ( \varphi )= \varphi (1)=m $$

همریختی: $$ \theta ( \varphi + \psi )= ( \varphi + \psi )(1)= \varphi (1)+ \psi (1)= \theta ( \varphi )+ \theta ( \psi ) $$ $$ \theta (r \varphi )= (r \varphi )(1)= r\varphi (1)= r\theta ( \varphi )$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
39 نفر آنلاین
0 عضو و 39 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 784
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709926
...