به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
73 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط هستی
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $M$ یک$R$-مدول باشد.در این صورت ثابت کنید $Hom_{R} (R,M) \cong_{R} M$.

مرجع: قضیه 9 صفحه ی 57 کتابنظریه مدولهای کتاب سیامک یاسمی

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

همانطور که میدانید $Hom_{R} (R,M) \cong_{R} M$ یک $R $ مدول چپ است کافیه یک یکریختی بین $Hom_{R} (R,M) \cong_{R} M$ و $ M $ را تعریف کنیم.

تعریف میکنیم $ \theta : Hom_{R} (R,M) \rightarrow M $ که $ \theta ( \varphi )= \varphi (1) $ نشان میدهیم یک یکریختی است.

بوضوح خوش تعریف است پس یک به یکی را نشان می دهیم: فرض کنید $\theta ( \varphi _{1} )=\theta ( \varphi _{2} ) $ یعنی $ \varphi _{1}(1)= \varphi _{2}(1) $ نشان میدهیم $ \varphi _{1}=\varphi _{2}$ یعنی اثر این دو روی هر عنصر دلخواه از دامنه یکی است فرض کنید $r \in R $ عنصری دلخواه باشد چون $ \varphi _{1} $ یک $ R $ همریختی است(اندیس $ Hom(R,M) $ برابر $ R $ است) پس میتوان نوشت $\varphi _{1}(r)=\varphi _{1}(r.1) =r\varphi _{1}(1) $ و بطور مشابه برای $\varphi _{2} $ هم می توان نوشت $\varphi _{2}(r)=\varphi _{2}(r.1) =r\varphi _{2}(1) $ پس اثرشون روی هر عنصر دلخواه یکی است یعنی این دو یکی هستند.

پوشایی:

فرض کنید $m \in M $ عنصر دلخواهی باشد تعریف میکنیم $ \varphi :R \rightarrow M $ که $ \varphi (1)=m $ پس $ \varphi (r)= \varphi (r.1)= r\varphi (1)= rm$ به سادگی میتوان نشان داد که یک $R $ همریختی است پس $ \varphi \in Hom_{R} (R,M) $ و $$ \theta ( \varphi )= \varphi (1)=m $$

همریختی: $$ \theta ( \varphi + \psi )= ( \varphi + \psi )(1)= \varphi (1)+ \psi (1)= \theta ( \varphi )+ \theta ( \psi ) $$ $$ \theta (r \varphi )= (r \varphi )(1)= r\varphi (1)= r\theta ( \varphi )$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
46 نفر آنلاین
0 عضو و 46 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2166
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5007818
...