چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
130 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام

باسلام. این سوال در حلقه های ناجابه جایی است.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

با توجه به تعریف کافیه ثابت کنیم که $ \sqrt{(0)} =(0) $ همواره داریم $(0) \subseteq \sqrt{(0)} $ پس باسد نشان دهیم $\sqrt{(0)} \subseteq (0) $

فرض کنید $r \in \sqrt{(0)} $ باشد اگر $r=0 $ حکم برقرار است

نشان میدهیم نمیتواند $r \neq 0 $ باشد از برهان خلف حکم را نشان می دهیم: پس فرض کنید که $r \neq 0 $ طبق تعریف یک $n $ وجود دارد که $ r^{n} \in (0) $ یعنی $ r^{n} =0 $

حال میتوان توان را کمترین توان در نظر گرفت که $r^{n} =0 $ دو حالت داریم اگر $ n=2k $ آنگاه $r^{n} =(r^{k} )^{2} =0 $ و چون حلقه کاهشی است پس $r^{k} =0 $ که با اینکه $ n $ کوچکترین توان بود در تناقض است.

حالت دوم اینکه $ n=2k -1$ پس $r^{2k} $ نیز برابر صفر است($ r^{n}=r^{2k-1}=0$ حال طرفین را در $r $ ضرب میکنیم) یعنی $r^{2k} =(r^{k} )^{2} =0 $ و چون حلقه کاهشی است پس $r^{k} =0 $ که با اینکه $ n $ کوچکترین توان بود در تناقض است.

چون $ n > k $ است فرض کنید چنین نباشد یعنی $$n \leq k \Rightarrow 2k-1 \leq k \Rightarrow k \leq 1 $$

اما اگر $ k=1$ آنگاه $n=1 $ پس $r^{n} =r=0 $ که تناقض است.

دارای دیدگاه توسط shabnam
+1
با سلام. در مورد این سوال ظاهرا از تعریف معادل نیم اول استفاده کرده اید. امکانش هست قضیه ی مربوط به این تعریف معادل را با ذکر منبعش بیان کنید؟
دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
از آنجایی که تعریف نیم اول رو نمی دونستم از ویکی پدیا تعریفش رو پیدا کردم
https://en.wikipedia.org/wiki/Semiprime_ring

تقریبا آخرای مطلب گفته شده
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
56 نفر آنلاین
0 عضو و 56 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3317
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712458
...