به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
134 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام

باسلام. این سوال در حلقه های ناجابه جایی است.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

با توجه به تعریف کافیه ثابت کنیم که $ \sqrt{(0)} =(0) $ همواره داریم $(0) \subseteq \sqrt{(0)} $ پس باسد نشان دهیم $\sqrt{(0)} \subseteq (0) $

فرض کنید $r \in \sqrt{(0)} $ باشد اگر $r=0 $ حکم برقرار است

نشان میدهیم نمیتواند $r \neq 0 $ باشد از برهان خلف حکم را نشان می دهیم: پس فرض کنید که $r \neq 0 $ طبق تعریف یک $n $ وجود دارد که $ r^{n} \in (0) $ یعنی $ r^{n} =0 $

حال میتوان توان را کمترین توان در نظر گرفت که $r^{n} =0 $ دو حالت داریم اگر $ n=2k $ آنگاه $r^{n} =(r^{k} )^{2} =0 $ و چون حلقه کاهشی است پس $r^{k} =0 $ که با اینکه $ n $ کوچکترین توان بود در تناقض است.

حالت دوم اینکه $ n=2k -1$ پس $r^{2k} $ نیز برابر صفر است($ r^{n}=r^{2k-1}=0$ حال طرفین را در $r $ ضرب میکنیم) یعنی $r^{2k} =(r^{k} )^{2} =0 $ و چون حلقه کاهشی است پس $r^{k} =0 $ که با اینکه $ n $ کوچکترین توان بود در تناقض است.

چون $ n > k $ است فرض کنید چنین نباشد یعنی $$n \leq k \Rightarrow 2k-1 \leq k \Rightarrow k \leq 1 $$

اما اگر $ k=1$ آنگاه $n=1 $ پس $r^{n} =r=0 $ که تناقض است.

دارای دیدگاه توسط shabnam
+1
با سلام. در مورد این سوال ظاهرا از تعریف معادل نیم اول استفاده کرده اید. امکانش هست قضیه ی مربوط به این تعریف معادل را با ذکر منبعش بیان کنید؟
دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
از آنجایی که تعریف نیم اول رو نمی دونستم از ویکی پدیا تعریفش رو پیدا کردم
https://en.wikipedia.org/wiki/Semiprime_ring

تقریبا آخرای مطلب گفته شده
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
56 نفر آنلاین
0 عضو و 56 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3481
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5009133
...