چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
54 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط b_m
نمایش از نو توسط fardina

برای هر $n \in Z$ بستار صحیح $Z[ \sqrt{n}] $ را پیدا کنید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

اگر $ n $ خالی از مربع باشد و $n=4k+1$ آنگاه نشان می دهیم که $Z[ \alpha ] $ بستار صحیح $ Z[ \sqrt{n}] $ است. که در آن $ \alpha = \frac{1+ \sqrt{n} }{2} $ از آنجایی که $ Z[ \alpha ] $ یک $UFD $ است لذا بستار $ Z[ \alpha ] $ برابر خودش است و از آنجایی که $ Z[ \sqrt{n}] \subseteq Z[ \alpha ] $ پس $ \overline{ Z[ \sqrt{n}]} \subseteq \overline{Z[ \alpha ]} =Z[ \alpha ] $ که در آن $ \overline{Z[ \alpha ]} $ همان بستار $Z[ \alpha ] $ است. خال نشان می دهیم که $Z[ \alpha ] \subseteq \overline{ Z[ \sqrt{n}]} $

اولا دقت کنید که طبق رابطه ی $Z \subseteq Z[ \sqrt{n}] \subseteq \overline{ Z[ \sqrt{n}]} $ کافیست ثابت کنیم که $ \alpha \in \overline{ Z[ \sqrt{n}]} $

از آنحایی که به سادگی میتوان دید که $ \alpha ^{2} - \alpha -k=0$ پس $ \alpha $روی $ Z[ \sqrt{n}] $ صحیح است پس $ \alpha \in \overline{ Z[ \sqrt{n}]}$

دقت کنید برای حالت $n=4k+1$ همانطور که نشان داده شد عنصر $ \alpha = \frac{1+ \sqrt{n} }{2} $ روی $ Q[ \sqrt{n}] $ صحیح است اما در $ Z[ \sqrt{n}] $ نیست لذا $ Z[ \sqrt{n}] $ به طور بستاری صحیح نیست

حال برای حالات $n=4k+2$ و$n=4k+3$ بنشان میدهیم که خود $Z[ \sqrt{n}] $ یطور بستاری روی $ Q[ \sqrt{n}] $ صحیح است.

دقت کنید در حالت $ n=4k $،$ n$ خالی از مربع نیست.

عنصر دلخواه $ \alpha = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} \sqrt{n} $ در $ Q[ \sqrt{n}] $ که روی $ Z[ \sqrt{n}] $ صحیح است را در نظر میگیریم که در آن $(p,q)=1 $ و $ (r,s)=1 $ است این عنصر در معادله زیر که در آن $ \overline{ \alpha }= \frac{p}{q} - \frac{r}{s} \sqrt{n} $صدق میکند(ریشه آن است) $$ (X- \alpha )(x- \overline{ \alpha } ) = X^{k} - \frac{2p}{q} X+ \frac{ p^{2} }{ q^{2} } - \frac{ r^{2} n}{ s^{2} } $$

اما چون این معادله تکین و مینیمال است لذا ضرایبش باید در $ Z $ باشند یعنی داریم:

$q \mid 2p $ پس $q=1 $ یا $ q=2 $

در حالت $q=1 $ باید $ \frac{ r^{2} n}{ s^{2} } $ صحیح باشد لذا $s^{2} \mid n $ اما $n$ خالی از مربع است لذا $s=1$ پس $ \alpha =p+r\sqrt{n}$ پس در این حالت بدون هیچ مشکلی حکم برقرار است.

اما اگر $q=2$ باید $$ \frac{ p^{2} }{ q^{2} } - \frac{ r^{2} n}{ s^{2} }= \frac{ p^{2} }{ 4} - \frac{ r^{2} n}{ s^{2} }=\frac{p^{2}s^{2}- 4r^{2} n}{ 4s^{2} } $$ صحیح باشد پس $4$ باید صورت را عاد کند پس $4 \mid p^{2}s^{2} $ اما چون $(p,q)=1 $ پس $ p $ عددی فرد است لذا $4 \mid s^{2}$ یعنی $s=2k $ و چون $ (r,s)=1 $ پس $ r $ نیز فرد است پس $p^{2} \equiv r^{2} \equiv 1(mod \ 4) $

با جایگذاری $s=2k $ کسر به $$\frac{4p^{2}k^{2}- 4r^{2} n}{ 16k^{2} } = \frac{p^{2}k^{2}- r^{2} n}{ 4k^{2} }$$ پس باید $ 4 $ صورت را عاد کند یعنی به مود $4$ صورت صفر شود و چون $p^{2} \equiv r^{2} \equiv 1(mod \ 4) $ پس $k^{2}-n \equiv 0(mod \ 4) $ اما از آنجایی که $4 \nmid n $ پس $4 \nmid k^{2} $ پس باید $k $ فرد باشد لذا $k^{2} \equiv 1(mod \ 4) $ پس باید داشته باشیم $ n \equiv 1(mod \ 4)$ اما چنین نیست لذا این حالت امکان پذیر نیست چون $n=4k+2$ و$n=4k+3$ است لذا اگر عنصری در مانند $ \alpha = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} \sqrt{n} $ در $ Q[ \sqrt{n}] $ اگر روی $ Z[ \sqrt{n}] $ صحیح باشد باید $q=1$ و $s=1$ یعنی حتما عنصری در $ Z[ \sqrt{n}] $ است.

اما برای حالات دیگر که $n $خالی از مربع نیست اگر داشته باشیم $ n= k^{2}m $ که در آن $m $ خالی از مربع است به سادگی می توان نشان داد که $ Z[ \sqrt{n}] $ با $Z[ \sqrt{m}] $ یکی هستند. پس باز به حالت خالی از مربع می رسیم.

دقت کنید اگر $n $ مربع کامل باشد یعنی $n=k^{2} $ آنگاه $ \sqrt{n}=d $ پس $Z[ \sqrt{n}]=Z $ و $ Z $ یک $UFD $ است پس بطور بستاری صحیح است.


اثبات اینکه هر حلقه $UFD $ به طور بستاری صحیح است:

فرض کنید که $ K $ میدان خارج قسمتی $ R $ باشد و عنصر دلخواه $ x= \frac{a}{s} $ روی $R $ صحیح باشد که $(a,s)=1$ لذا وجود دارد $ n $ و $ a_{i} \in R $ به طوریکه $ x^{n} + a_{1} x^{n-1} +...+ a_{n} =0 $

که با جایگذاری $ x= \frac{a}{s} $ داریم $ a^{n} + a_{1} sa^{n-1} +...+ a_{n} s^{n} =0 $ در اینصورت $a^{n} =-s( a_{1} a^{n-1} +...+ a_{n} s^{n-1} ) $ و در نتیجه $s \mid a^{n}$ و چون $(a,s)=1$ پس $s=1$ یعنی $x \in R $ و حکم ثابت شد

دارای دیدگاه توسط b_m
ویرایش شده توسط fardina
+1
با تشکر.اگر R حوزه صحیح باشد دراین صورت آیا میتوان گفت که R به طور صحیح بسته است؟ وچون در قسمت آخر Z  یک UFD است پس PID است لذا به طور صحیح بسته است.
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@b_m
لطفا به جای ارسال پاسخ، دیدگاه بذارید.
و از @erfanm استفاده کنید تا از دیدگاهتون خبر دار بشن.
دارای دیدگاه توسط erfanm
jتوضیحات اضافه شد
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
43 نفر آنلاین
0 عضو و 43 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 743
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709885
...