چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
69 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط shabnam
ویرایش شده توسط erfanm

با سلام اگر $I$ ایده‌ آل متناهی مولد مشمول در یک ایده آل اول مینیمال باشد نشان دهید $I$ عضوی غیرصفر از $R$ را صفر میکند.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط shabnam
 
بهترین پاسخ

اگر $ P=(0) $ آنگاه $I=(0) $ و در این حالت $I $ تمام عناصر $R $ را صفر می کند پس فرض کنید که$ P \neq (0) $(مطلب اضافی: یعنی ایده آل $ (0) $ یک ایده آل اول نیست پس وجود دارند عناصری مانند $ a,b$ که $ab \in (0) $ ولی $ a \notin (0)$ و$ b \notin (0) $ بطور معادل $ab=0 $ ولی $ a \neq 0 $ و $b \neq 0 $) حال به ازای هر $ x \notin P $ایده آل $ Ann(x) $ را در نظر می گیریم اگر $ s \in Ann(x) $ آنگاه $sx=0 \in P $ و چون $ P $ ایده آل اول است و$ x \notin P $ لذا $s \in P $ یعنی $Ann(x) \subseteq P $ است

حال فرض کنید $ Ann(x) $ عنصر ماکسیمال بین تمام این پوچسازها باشد که زیر مجموعه ای از $ P$ هستند. نشان می دهیم که $Ann(x)$ ایده آل اولی است و چون $Ann(x) \subseteq P $ و $ P $ مینیمال بودپس برابرند یعنی به ازای هر عنصر مانند $t \in P $ داریم که $tx=0 $ پس $ P $ این عنصر را صفر میکند و چون $ I \subseteq P $ پس $ I $ این عنصر را نیز صفر می کند همچنین نشان می دهیم که این عنصر یعنی $ x $ ناصفر است

1) $ x $ ناصفر است: اگر صفر باشد آنگاه $Ann(x)=R $ پس $P=R $ ولی این رابطه با اینکه $ P $ ایده آل اول است لذا ایده آلی سره است در تناقض است.

2)$ Ann(x) $ ایده آل اول است: فرض کنید که $ab \in Ann(x) $نشان می دهیم که یا $a \in Ann(x) $ یا $b \in Ann(x) $ (دقت کنید که $x \notin P $ پس $ ab \in P $ یعنی $a \in P$ یا $b \in P $ بدون کاستن از کلیت فرض کنید که $a \in P $)

فرض کنید چنین نباشد چون $ab \in Ann(x) $ پس $a(bx)=abx=0 $ پس $a \in Ann(bx) $ و براحتی می توان دید که $ Ann(x) \subseteq Ann(bx) $ اما $ a \in Ann(bx)$ و $ a \notin Ann(x) $ لذا زیر مجموعه سره است ولی $ Ann(x) $ ماکسیمال بود و این تناقض است.

دارای دیدگاه توسط M.B
+1
در خط اول پاراگراف دوم چرا عضو ماکسیمال بین تمام پوچ سازها وجود دارد؟
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
60 نفر آنلاین
0 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1747
بازدید دیروز: 7287
بازدید کل: 4704074
...