به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
54 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط hadis_h

نشان دهید که $dim R[x]=dim R + 1$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

به کمک دو نکته زیر قضیه را ثابت می کنیم:

$(1$ فرض کنید $ R $ حلقه نوتری ، $S=R[x] $ و $ P $ ایده آل اولی از $R $ باشد اگر قرار دهیم $Q =PS $ آنگاه $ht(Q)=ht(P) $

$(2$ فرض کنید $ R $ حلقه نوتری ، $S=R[x] $ و $ Q' \subset Q $ که در آن $ Q $ و $Q' $ ایده آلهای اول در $ S $ هستند که هر دو زیر ایده آل اول $ P $ از $R $ باشند آنگاه $PS=Q $

فرض کنید$P_{0} ‎\subsetneqq‎ P_{1} ‎\subsetneqq‎ ... ‎\subsetneqq‎ P_{n} $ زنجیر دلخواهی از ایده آل ها اول در $ R $ باشد اگر قرار دهیم $Q_{n}=P_{n}S $ آنگاه طبق نکته $1$ داریم
$ht(Q_{n})=ht(P_{n})=n $پس یک زنجیر به طول $ n $ از ایده آل های اول در $S $ مانند $ Q_{0} ‎\subsetneqq‎ Q_{1} ‎\subsetneqq‎ ... ‎\subsetneqq‎ Q_{n} $وجود دارد اما این زنجیر قابل افزایش است چون داریم $ Q_{n} ‎\subsetneqq Q_{n+1}‎ =Q_{n}+(x)$(دقت کنید $x \notin Q_{n} $ چون در غیر اینصورت باید $1 \in P_{n} $ باشد اما $P_{n} \neq R $ است چون ایده الی اول است لذا سره است)

پس به ازای هر زنجیر به طول $ n $ در $R $ حداقل یک زنجیر به طول $n+1 $ در $S=R[x] $ موجود است یعنی $ dim R +1 \leq dim S $

حال نشان میدهیم $ dim R+1 \geq dim S $ یا $ dim R \geq dim S -1 $

فرض کنید $ Q_{0} ‎\subsetneqq‎ Q_{1} ‎\subsetneqq‎ ... ‎\subsetneqq‎ Q_{n} $ زنجیری دلخواه از ایده آلهای اول در $S $ باشد قرار می دهیم $P_{i} =Q_{i} \cap R $ در اینصورت زنجیری از ایده آلهای اول در $ R $ را خواهیم داشت اما در این زنجیر تمام عناصر متمایز نیستند چون اگر متمایز باشند آنگاه $dimR \geq dimS > dimS-1 $ که با رابطه ی بدست آمده در بالا در تناقض است. پس فرض کنید که $j $ بزرگترین اندیسی باشد که برای آن $P_{i}=P_{i+1} $ باشد (یعنی اگر $ i > j $ آنگاه $ P_{i} ‎\subsetneqq‎ P_{i+1} $)

از نکته $2$ داریم $Q_{j}=P_{j}S $ و $ht(Q_{j})=ht(P_{j}) \geq j $ اما با توجه به انتخاب $ j $ داریم: $$ P_{j}=P_{j+1} ‎\subsetneqq‎ P_{j+2} ‎\subsetneqq‎ ... ‎\subsetneqq‎ P_{n} $$ پس $ht(P_{j})+(n-j-1) \leq dimR $ اما از آنجایی که $ht(P_{j}) \geq j $ پس $ n-1 \leq dimR $

یعنی به ازای هر زنجیر به طول $ n$ در $S $ داریم $n-1 \leq dimR $ پس $ dim R \geq dim S -1 $ وحکم ثابت شد.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...