چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
45 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط hadis_h

نشان دهید که $dim R[x]=dim R + 1$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

به کمک دو نکته زیر قضیه را ثابت می کنیم:

$(1$ فرض کنید $ R $ حلقه نوتری ، $S=R[x] $ و $ P $ ایده آل اولی از $R $ باشد اگر قرار دهیم $Q =PS $ آنگاه $ht(Q)=ht(P) $

$(2$ فرض کنید $ R $ حلقه نوتری ، $S=R[x] $ و $ Q' \subset Q $ که در آن $ Q $ و $Q' $ ایده آلهای اول در $ S $ هستند که هر دو زیر ایده آل اول $ P $ از $R $ باشند آنگاه $PS=Q $

فرض کنید$P_{0} ‎\subsetneqq‎ P_{1} ‎\subsetneqq‎ ... ‎\subsetneqq‎ P_{n} $ زنجیر دلخواهی از ایده آل ها اول در $ R $ باشد اگر قرار دهیم $Q_{n}=P_{n}S $ آنگاه طبق نکته $1$ داریم
$ht(Q_{n})=ht(P_{n})=n $پس یک زنجیر به طول $ n $ از ایده آل های اول در $S $ مانند $ Q_{0} ‎\subsetneqq‎ Q_{1} ‎\subsetneqq‎ ... ‎\subsetneqq‎ Q_{n} $وجود دارد اما این زنجیر قابل افزایش است چون داریم $ Q_{n} ‎\subsetneqq Q_{n+1}‎ =Q_{n}+(x)$(دقت کنید $x \notin Q_{n} $ چون در غیر اینصورت باید $1 \in P_{n} $ باشد اما $P_{n} \neq R $ است چون ایده الی اول است لذا سره است)

پس به ازای هر زنجیر به طول $ n $ در $R $ حداقل یک زنجیر به طول $n+1 $ در $S=R[x] $ موجود است یعنی $ dim R +1 \leq dim S $

حال نشان میدهیم $ dim R+1 \geq dim S $ یا $ dim R \geq dim S -1 $

فرض کنید $ Q_{0} ‎\subsetneqq‎ Q_{1} ‎\subsetneqq‎ ... ‎\subsetneqq‎ Q_{n} $ زنجیری دلخواه از ایده آلهای اول در $S $ باشد قرار می دهیم $P_{i} =Q_{i} \cap R $ در اینصورت زنجیری از ایده آلهای اول در $ R $ را خواهیم داشت اما در این زنجیر تمام عناصر متمایز نیستند چون اگر متمایز باشند آنگاه $dimR \geq dimS > dimS-1 $ که با رابطه ی بدست آمده در بالا در تناقض است. پس فرض کنید که $j $ بزرگترین اندیسی باشد که برای آن $P_{i}=P_{i+1} $ باشد (یعنی اگر $ i > j $ آنگاه $ P_{i} ‎\subsetneqq‎ P_{i+1} $)

از نکته $2$ داریم $Q_{j}=P_{j}S $ و $ht(Q_{j})=ht(P_{j}) \geq j $ اما با توجه به انتخاب $ j $ داریم: $$ P_{j}=P_{j+1} ‎\subsetneqq‎ P_{j+2} ‎\subsetneqq‎ ... ‎\subsetneqq‎ P_{n} $$ پس $ht(P_{j})+(n-j-1) \leq dimR $ اما از آنجایی که $ht(P_{j}) \geq j $ پس $ n-1 \leq dimR $

یعنی به ازای هر زنجیر به طول $ n$ در $S $ داریم $n-1 \leq dimR $ پس $ dim R \geq dim S -1 $ وحکم ثابت شد.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
39 نفر آنلاین
0 عضو و 39 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 771
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709913
...