چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
1,465 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط OXIDE

ثابت کنید در هر گراف کامل $K_p$ تعداد دور با طول $m=p-1$ از همه بیشتر است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

تعداد دورها به طول $m $ در گراف کامل از رابطه ی ${p \choose{m} } \frac{(m-1)!}{2} $ بدست می آید کافیست ثابت کنیم که وقتی این عبارت بیشترین مقدار می شود که $m=p-1$

اولا دقت کنید که برای $ m $ و $p-m $ مقدار ${p \choose{m} }$ یکی است لذا وقتی بیشترین دور را می خواهیم باید روی $ m $ای بحث کنیم که بزرگتر یا مساوی است با $ \frac{p}{2} $

برای هر $ \frac{p}{2} \leq k < p $ داریم: $$ \frac{p-1}{k} \leq (p-k) $$ (کافیست قرار دهید $p=k+x$ و توجه کنید که $x \neq 0$) با ضرب طرفین در عبارت مناسب داریم:

$$ \frac{p-1}{k} \leq (p-k)! \Rightarrow $$ $$ \frac{(p-1)(p-2)...(p-k+1)}{k} \leq (p-2)! \Rightarrow $$ $$ \frac{p(p-1)(p-2)...(p-k+1)}{k} \frac{(k-1)! }{(k-1)! } \leq p.(p-2)! \Rightarrow $$ $$ \frac{(p-1)(p-2)...(p-k+1)(k-1)!}{k!} \leq p.(p-2)! \Rightarrow $$ $${p \choose{k} } \frac{(k-1)!}{2} \leq {p \choose{p-1} } \frac{(p-2)!}{2}$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1781
بازدید دیروز: 7287
بازدید کل: 4704108
...