به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
1,596 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط OXIDE

ثابت کنید در هر گراف کامل $K_p$ تعداد دور با طول $m=p-1$ از همه بیشتر است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

تعداد دورها به طول $m $ در گراف کامل از رابطه ی ${p \choose{m} } \frac{(m-1)!}{2} $ بدست می آید کافیست ثابت کنیم که وقتی این عبارت بیشترین مقدار می شود که $m=p-1$

اولا دقت کنید که برای $ m $ و $p-m $ مقدار ${p \choose{m} }$ یکی است لذا وقتی بیشترین دور را می خواهیم باید روی $ m $ای بحث کنیم که بزرگتر یا مساوی است با $ \frac{p}{2} $

برای هر $ \frac{p}{2} \leq k < p $ داریم: $$ \frac{p-1}{k} \leq (p-k) $$ (کافیست قرار دهید $p=k+x$ و توجه کنید که $x \neq 0$) با ضرب طرفین در عبارت مناسب داریم:

$$ \frac{p-1}{k} \leq (p-k)! \Rightarrow $$ $$ \frac{(p-1)(p-2)...(p-k+1)}{k} \leq (p-2)! \Rightarrow $$ $$ \frac{p(p-1)(p-2)...(p-k+1)}{k} \frac{(k-1)! }{(k-1)! } \leq p.(p-2)! \Rightarrow $$ $$ \frac{(p-1)(p-2)...(p-k+1)(k-1)!}{k!} \leq p.(p-2)! \Rightarrow $$ $${p \choose{k} } \frac{(k-1)!}{2} \leq {p \choose{p-1} } \frac{(p-2)!}{2}$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
41 نفر آنلاین
0 عضو و 41 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2344
بازدید دیروز: 5314
بازدید کل: 4993001
...