به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
68 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fardina

اگر $a,b$ اعداد صحیح مثبت باشند به طوریکه $a\mid b^2$ و $ b^2\mid a^3$ و $a^3\mid b^4$ و ... در اینصورت ثابت کنید $a=b$

مرجع: Fundamentals of Number Theory William Judson

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط wahedmohammadi

فرض کنیم $a= { p_{1} }^{{ a_{1} }}{ p_{2} }^{{ a_{2} }}...{ p_{r} }^{{ a_{r} }} $ و $ b= { q_{1} }^{{ b_{1} }}{ q_{2} }^{{ b_{2} }}...{ q_{s} }^{{ b_{s} }} $ در اینصورت از آنجایی که $ a \mid b^{2} $ بدون کاستن از کلیت می توان فرض کرد که$p_{1}= q_{1}$ و...و$p_{r} =q_{r} $و $r \leq s$ و همچنین $a_{i} \leq 2 b_{i} $ است.

داریم $a^{3} = { p_{1} }^{{ 3a_{1} }}{ p_{2} }^{{ 3a_{2} }}...{ p_{r} }^{{ 3a_{r} }} $ از آنجایی که $ b^{2} \mid a^{3} $ داریم $s \leq r$ پس $ s = r $ یعنی نوع اعداد اول $ a $ و $ b $ یکی هستند و فقط شاید توان متفاوت باشد

حال $ p_{i} $ را در نظر میگیریم و طبق فرض توان آن در $ a $ برابر $ a_{i} $ و در $ b $ برابر $ b_{i} $ است فرض کنید که $a_{i} < b_{i} $ باشد لذا میتوان نوشت $ b_{i}=a_{i}+k $

به ازای هر $ l $ زوج داریم $ b^{l} \mid a^{l+1} $ یعنی با مقایسه توان $ p_{i} $ داریم $$ la_{i}+lk \leq (l+1)a_{i} \Rightarrow lk \leq a_{i}$$ اما در این رابطه $ l $ فقط غیر ثابت است و میتوانیم آن را هرچقدر که بخواهیم بزرگ کنیم لذا داریم $k=0$ یعنی $ b_{i}=a_{i}$ و حکم برای این خالت برقرار می شود.

اگر $a_{i} > b_{i} $ به طور مشابه اثبات می شود.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
49 نفر آنلاین
0 عضو و 49 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 146
بازدید دیروز: 5217
بازدید کل: 5000938
...