چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
68 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fardina

اگر $a,b$ اعداد صحیح مثبت باشند به طوریکه $a\mid b^2$ و $ b^2\mid a^3$ و $a^3\mid b^4$ و ... در اینصورت ثابت کنید $a=b$

مرجع: Fundamentals of Number Theory William Judson

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط wahedmohammadi

فرض کنیم $a= { p_{1} }^{{ a_{1} }}{ p_{2} }^{{ a_{2} }}...{ p_{r} }^{{ a_{r} }} $ و $ b= { q_{1} }^{{ b_{1} }}{ q_{2} }^{{ b_{2} }}...{ q_{s} }^{{ b_{s} }} $ در اینصورت از آنجایی که $ a \mid b^{2} $ بدون کاستن از کلیت می توان فرض کرد که$p_{1}= q_{1}$ و...و$p_{r} =q_{r} $و $r \leq s$ و همچنین $a_{i} \leq 2 b_{i} $ است.

داریم $a^{3} = { p_{1} }^{{ 3a_{1} }}{ p_{2} }^{{ 3a_{2} }}...{ p_{r} }^{{ 3a_{r} }} $ از آنجایی که $ b^{2} \mid a^{3} $ داریم $s \leq r$ پس $ s = r $ یعنی نوع اعداد اول $ a $ و $ b $ یکی هستند و فقط شاید توان متفاوت باشد

حال $ p_{i} $ را در نظر میگیریم و طبق فرض توان آن در $ a $ برابر $ a_{i} $ و در $ b $ برابر $ b_{i} $ است فرض کنید که $a_{i} < b_{i} $ باشد لذا میتوان نوشت $ b_{i}=a_{i}+k $

به ازای هر $ l $ زوج داریم $ b^{l} \mid a^{l+1} $ یعنی با مقایسه توان $ p_{i} $ داریم $$ la_{i}+lk \leq (l+1)a_{i} \Rightarrow lk \leq a_{i}$$ اما در این رابطه $ l $ فقط غیر ثابت است و میتوانیم آن را هرچقدر که بخواهیم بزرگ کنیم لذا داریم $k=0$ یعنی $ b_{i}=a_{i}$ و حکم برای این خالت برقرار می شود.

اگر $a_{i} > b_{i} $ به طور مشابه اثبات می شود.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
60 نفر آنلاین
0 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1745
بازدید دیروز: 7287
بازدید کل: 4704072
...