چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
60 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fardina

فرض کنید $ f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ یک تابع با شرط $ f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=0 $ برای هر $x,y,z$ باشد. نشان دهید تابعی مانند $g:\mathbb R\to \mathbb R $ وجود دارد به طوریکه $ f(x,y)=g(x)-g(y) $ برای هر $ x,y\in\mathbb R $ .

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط fardina
 
بهترین پاسخ

ابتدا بجای $ y $ و $ z $ هم $ x $ قرار می دهیم تا $3f(x,x)=0 $ بدست آید یعنی با ازای هر $ x $ داریم $f(x,x)=0 $ است.

حال بجای $ z $ در رابطه ی اولیه $ x $ قرار می دهیم لذا داریم: $$f(x,y)+f(y,x)+f(x,x)=0 \\ \Rightarrow f(x,y)+f(y,x)=0 \Rightarrow f(x,y)=-f(y,x)$$ یعنی اگر جای مولفه ها رو عوض کنیم یک منفی ظاهر می شود حال فرض $ a $ عددی ثابت باشد تعریف میکنیم: $$ g(x)=f(x,a) $$ لذا اگر بجای $ z $ در رابطه ی اولیه$ a $ قرار دهیم داریم:

$$f(x,y)+f(y,a)+f(a,x)=0 \\ \Rightarrow f(x,y)=-f(a,x)-f(y,a)=f(x,a)-f(y,a) $$ با توجه به تعریف $ g(x)=f(x,a)$ داریم: $$ f(x,y)=g(x)-g(y) $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3211
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712352
...