به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
61 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fardina

فرض کنید $ f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ یک تابع با شرط $ f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=0 $ برای هر $x,y,z$ باشد. نشان دهید تابعی مانند $g:\mathbb R\to \mathbb R $ وجود دارد به طوریکه $ f(x,y)=g(x)-g(y) $ برای هر $ x,y\in\mathbb R $ .

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط fardina
 
بهترین پاسخ

ابتدا بجای $ y $ و $ z $ هم $ x $ قرار می دهیم تا $3f(x,x)=0 $ بدست آید یعنی با ازای هر $ x $ داریم $f(x,x)=0 $ است.

حال بجای $ z $ در رابطه ی اولیه $ x $ قرار می دهیم لذا داریم: $$f(x,y)+f(y,x)+f(x,x)=0 \\ \Rightarrow f(x,y)+f(y,x)=0 \Rightarrow f(x,y)=-f(y,x)$$ یعنی اگر جای مولفه ها رو عوض کنیم یک منفی ظاهر می شود حال فرض $ a $ عددی ثابت باشد تعریف میکنیم: $$ g(x)=f(x,a) $$ لذا اگر بجای $ z $ در رابطه ی اولیه$ a $ قرار دهیم داریم:

$$f(x,y)+f(y,a)+f(a,x)=0 \\ \Rightarrow f(x,y)=-f(a,x)-f(y,a)=f(x,a)-f(y,a) $$ با توجه به تعریف $ g(x)=f(x,a)$ داریم: $$ f(x,y)=g(x)-g(y) $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
56 نفر آنلاین
0 عضو و 56 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3475
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5009127
...