چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
4,229 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط sahar3

وضعيت دو منحني با هم دو منحني سه حالت با هم دارند.. الف)در يك نقطه همديگر را قطع ميكنند ب)دو منحني در يك نقطه مماس هستند. ج)دو منحني با هم برخوردي ندار.

حالا سوال من اينه كه

معادلات دو منحني بايد چه شرايطي داشته باشد كه حالت الف و ب و ج را داشته باشد با ذكر دليل. و اينكه مختصات نقطه برخورد مماس ان چگونه بدست مي ايد.. ممنون..

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

الف:چنانچه دو تابع همدیگر را قطع کنند در اینصورت مختصات محل تقاطع در هر دو تابع صدق می کند. در اینصورت برای پیدا کردن مختصات محل تلاقی معادله دو منحنی را با هم برابر قرار می دهیم. به عنوان مثال دو تابع $f(x)=x^2$ و $g(x)=2x$ همدیگر را قطع می کنند زیرا $x^2=2x$ دارای دو جواب $x=0,x=2$ است.

enter image description here

پس به طور خلاصه دو منحنی $f,g$ متقاطع اند هرگاه معادله $f(x)=g(x)$ دارای جواب باشد.

ب: یک حالت از تقاطع این است که دو منحنی بر هم مماس باشند. که در اینصورت علاوه بر اینکه معادله ی $f(x)=g(x)$ دارای جواب است مثلا فرض کنید $a$ یک جواب باشد علاوه بر این در نقطه ی تماس هر دو منحنی دارای خط مماس مشترک هستند. پس یعنی در نقطه ی $a$ شیب خط مماس بر $f$ که برابر $f'(a) $ است و شیب خط مماس بر $g$ که برابر $g'(a)$ است با هم برابر هستند یعنی $f'(a)=g'(a)$ .

پس دو منحنی $f,g$دارای مماس مشترک در نقطه $a$ هستند هرگاه: 1. $f(a)=g(a)$ 2. $f'(a)=g'(a)$

به عنوان مثال منحنی های $f(x)=x^3-2x$ و $g9x)=\frac 12x^2-\frac 32$ همدیگر را قطع می کنند زیرا $x^3-2x=\frac 12x^2-\frac 32$ دارای دو جواب $x=1,-\frac 32$ است. ولی $f'(x)=g'(x)$ یعنی $3x^2-2=x$ یا $(3x-2)(x-1)=0$ دارای دو جواب $x=1,x=-\frac 23$ است. پس نقطه ی $x=1$ نقطه ای است که شرایط مماس مشترک داشتن را دارد. لذا این دو منحنی در $x=1$ دارای مماس مشترک به معادله $y=x-2$ هستند.

enter image description here

ج:

بنابر آنچه در قسمت الف گفته شد دو تابع همدیگر را قطع نمی کنند اگر و تنها اگر معادله $f(x)=g(x)$ دارای جواب نباشد.

دو منحنی $f(x)=x^2$ و $g(x)=x-1$ همدیگر را قطع نمیکنند زیرا معادله $x^2=x-1$ دارای جواب نیست.(زیرا دلتای معادله درجه دوم منفی است)

enter image description here

دارای دیدگاه توسط fardina
+2
@sahar3
اگر $f$ تابعی باشد(چندجمله ای) که $f(a)=0$ در اینصورت $f(x)=(x-a)h(x)$ که $h(x)$ در واقع از تقسیم $f(x)$ بر $(x-a)$ به دست می آید. این رو باید در فصل اول کتاب حسابان دبیرستانی خونده باشید.
حال چون $a$ ریشه ی تابع $f-g$ است لذا $f(x)-g(x)=(x-a)h(x)$
و چون $f'(x)-g'(x)=h(x)+(x-a)h'(x)$ و $f'(a)-g'(a)=h(a)$ و طبق فرض $f'(a)-g'(a)=0$ لذا $h(a)=0$ پس $h(x)=(x-a)k(x)$. بنابراین $f(x)-g(x)=(x-a)h(x)=(x-a)(x-a)k(x)$ .
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@wahemmohammadi
ممنون برای تذکرتون. همینطوره که میگید.
دارای دیدگاه توسط sahar3
+1
@fardina
خيلي ممنون
فقط دو سوال
ابتدا شرط گذاشتيد يعني گفتيد اگر تابع چندجمله ايي باشد .اگر چند جمله ايي نباشد چي.
دو اينكه در بعضي كتابا ديدم نوشته شرط مماس بودن دو منحني ريشه مكرر(يا مكررمرتبه ي زوج يا مكرر مرتبه ي فرد)
اما در بعضي ديگه نوشته بود مضاعف(ريشه مكررزوج)
كه شما هم اينجا مضاعف رو اثبات كرديد...كدومو بايد قبول كنيم..؟؟؟
دارای دیدگاه توسط sahar3
+1
@fardina
ممنون ميشم سوال تو ديگاهي رو كه پرسيدم جواب بديد؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
لطفا توجه کنید که شرط اصلی اینه که $f(a)=g(a)$ و $f'(a)=g'(a)$ .
برای چند جمله ایها  از $f(a)=0$ نتیجه میگیریم $f(x)=(x-a)g(x)$ ولی برای غیر چندجمله ایها اینو نداریم مثلا سینوس در صفر برابر صفر میشه ولی چند جمله ای $g(x)$ وجود ندارد که $\sin x=xg(x)$ . پس بهتره شما همیشه از اون شرط اصلی استفاده کنید.
ولی شما پرسیدید که این شرط مضاعف بودن از کجا آمده و من پاسخ دادم که این برای چندجمله ایها و از همین شرایط اولیه نتیجه میشه.
برای سوال بعدی اگر $f(x)-g(x)=(x-a)^kh(x)$ که $k\geq 2$ داریم $f(a)=g(a)$ و $f'(a)=g'(a)$ و بنابراین طبق شرایط اولیه گفته شده مماس هستند.
در اینجا من مضاعف رو اثبات نکردم ثابت کردیم حداقل توان $(x-a)$ در $f(x)-g(x)$ برابر دو هست.
در ضمن هیچوقت به این سایت و یا هر سایت دیگری نباید اعتماد کامل کنید چون ممکنه هر کسی اشتباه کنه. و اینجا هر کسی میتونه پاسخ بده.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3621
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687429
...